Здравствуйте если я переезжаю в другой город работать мне нужно отрабатывать две недели на старой работе?

Добрый день.

Требовать отработки перед увольнением в указанном случае нельзя, поскольку перемена места жительства в связи с переездом в другую местность препятствует продолжению прежней работы. Работник может уволится без отработки в день, указанный им в заявлении, то есть без отработки (ч. 3 ст. 80 ТК РФ, абз. 2 пп. «б» п. 22 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2).

Можно. В соответствии со ст. 80 ТК РФ в случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы, работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.