Как можно повлиять на подрядчика, если договора нет?

Виктория, здравствуйте!

Отсутствие документа на бумажном носителе еще не свидетельствует о незаключении договора. 

В силу ст. 434, 432 ГК РФ в договоре должны быть указаны существенные условия и он может быть заключен путем обмена электронными сообщениями.

Другой вопрос, что согласно п.1 ст. 702 ГК РФ 

1. По договору подряда одна сторона (подрядчик) обязуется выполнить по заданию другой стороны (заказчика) определенную работу и сдать ее результат заказчику, а заказчик обязуется принять результат работы и оплатить его.

т.е. существенным условием договора подряда это наличие результата работ, который должен быть передан, срок выполнения, т.е. по своей сути смета.

Если из переписки следовало, что договор заключен, то нет проблем во взыскании средств обратно. 

В вашем случае требуется анализ переписки, анализ платежей, разработка алгоритма действий. Для заказа услуг вы можете обратится ко мне в чат.

С уважением, 

юрист Квон Дмитрий Викторович