Однако он ссылается на то, что возместит только сумму пострадавшей мебели, а сумму остального он возмещать не будет, так как это не зона его ответственности

Здравствуйте. 

Законно ли это внесение? Фото ответа прилагаю

Марианна

для полноты картины надо видеть конечно полностью договор. В силу ст. 616 ГК РФ

2. Арендатор обязан поддерживать имущество в исправном состоянии, производить за свой счет текущий ремонт и нести расходы на содержание имущества, если иное не установлено законом или договором аренды. 

Фактически цитата арендодателя скопирована с ГК РФ практически полностью. в целом его видение верно, если только именно по Вашей вине будет причинён какой-либо ущерб.

Однако он ссылается на то, что возместит только сумму пострадавшей мебели, а сумму остального он возмещать не будет, так как это не зона его ответственности. Правомерно ли это?

Марианна

частично тоже верно, поскольку не его действиями причинён ущерб и Вам надо судиться с УК  и с них взыскивать ущерб. В силу ст. 1064 ГК РФ

1. Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.

По общему правилу, в силу ст. 210 ГК РФ

Собственник несет бремя содержания принадлежащего ему имущества, если иное не предусмотрено законом или договором.

Как видно из статьи, правило бремя содержания может быть изменено, что и случилось в Вашей ситуации, плюс опять же ответственна УК за данное затопление, если они проводили работы в своей зоне ответственности, то все вопросы к ним. Как вариант сейчас направить претензию УК с просьбой возместить ущерб. И если откажутся — направить иск в суд. А арендодателя привлечь к процессу как 3 лицо.