И какую нужно делать обычную доверенность или генеральную?

Здравствуйте, Мария. 

Законодательство не делит доверенности на «обычные» и «генеральные». В доверенности должны содержатся именно те полномочия, которые доверитель желает передать своему представителю.

В описанной Вами ситуации доверенность оформлена быть не может, ведь ребенок не вещь. 

Законодательство устанавливает, что законными представителями несовершеннолетних являются родители, усыновители, опекуны, попечители (п. 1 ст. 26, п. 1 ст. 28 ГК РФ; ст. 64, п. 1 ст. 123 СК РФ; ч. 2, 3 ст. 15 Федерального закона от 24.04.2008 N 48-ФЗ  «Об опеке и попечительстве»).  Они выступают в защиту прав и интересов  детей в отношениях с любыми физическими и юридическими лицами без специального полномочия, то есть в силу самого факта родительства (опекунства и т.д.).

Отдельные права родителей могут быть переданы иным лицам по доверенности (например, право на получение справок, на заключение договоров, в т.ч. договора на образовательные услуги). Однако наличие такой доверенности не делает, например, брата законным представителем ребенка, поскольку права и обязанности родителей в отношении ребенка не прекращаются, он будет представителем родителя (родителей).

Заявление о приеме в школу после получения основного общего образования (т.е. после 9 кл.) должен подать или родитель, или сам поступающий (см. п.22 Приказа Минпросвещения России от 02.09.2020 N 458 «Об утверждении Порядка приема на обучение по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования»).

А вот давать информированное добровольное согласие на медицинское вмешательство ребенок, достигший 15 лет, должен сам (ст. 20, 54 Федерального закона от 21.11.2011 N 323-ФЗ «Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации»).

Родители живут в другом городе просто и не могут приехать пристроить его в школу, прекрепить в поликлинику и присутствовать в мфц чтобы сделать временную регистрацию

Мария

Из всего перечисленного по доверенности с точки зрения закона ничего сделать нельзя. Кое что можно сделать, нотариально удостоверив подпись на соответствующем заявлении, но в целом это проблемы не решит. 

Возможно, есть смысл оформить временное попечительство, тогда брат будет как раз законным представителем — временным попечителем:

1. Родители могут подать в орган опеки и попечительства совместное заявление о назначении их ребенку опекуна или попечителя на период, когда по уважительным причинам они не смогут исполнять свои родительские обязанности, с указанием конкретного лица. В акте органа опеки и попечительства о назначении опекуна или попечителя по заявлению родителей должен быть указан срок действия полномочий опекуна или попечителя.
 
ст. 13, Федеральный закон от 24.04.2008 N 48-ФЗ (ред. от 08.12.2020) «Об опеке и попечительстве» 

Возможно, лучше не говорить в органе опеки, что родители остаются, а ребенок уезжает, лучше сказать, что родителям нужно уехать (по работе, на лечение и т.п. — но могут потребовать подтверждающие документы), а ребенку придется остаться на попечении старшего брата.