) И модно ли как-то срок выделения продлить (суд только?

Здравствуйте, давайте по порядку:

по поводу выселения из квартиры, в соответствие с Вашими пояснения, договор найма жилого помещения в письменной форме не оформлялся, однако факт заключения данного договора между Вами и тетей мужа, подтверждает тетя мужа своим обращением к Вам, т.е. суд в любом случае признает договор найма заключенным. 

Теперь по поводу сроков заключения данного договора. Так как в письменной форме сроки найма не определены, по общему правилу такой договор считается заключенным на срок пять лет (если иное не будет доказано в суде) — ч. 1 ст. 683 ГК РФ. 

С учетом данного срока, тетя мужа пытается расторгнуть договор найма досрочно. Следовательно, тетя сможет расторгнуть договор по суду, только в случае если: 

— невнесения Вами платы за жилое помещение за шесть месяцев, если договором не установлен более длительный срок, а при краткосрочном найме в случае невнесения платы более двух раз по истечении установленного договором срока платежа;

— разрушения или порчи жилого помещения Вами или другими гражданами, за действия которых Вы отвечаете.

Таким образом, законных оснований для расторжения договора найма до истечения пяти лет у тети мужа нет. 

Далее по поводу ремонта:

Согласно ст. 681 ГК РФ, по общему правилу текущий ремонт сданного внаем жилого помещения осуществляете Вы, т.е. наниматель и требовать компенсации, в случае отсутствия письменных договоренностей об оплате затрат на текущий ремонт со стороны тети, Вы не можете. Капитальный ремонт сданного внаем жилого помещения является обязанностью наймодателя, т.е. тети, но при этом необходимо доказать что это капитальный ремонт, либо что изначальное состояние жилья не позволяло его использовать без ремонта в целях проживания в нем (на этот случай имеется положительная судебная практика судов высших инстанций).

По поводу незаконного предпринимательства, наличие либо отсутствие в действиях Вашей тети состава административного правонарушения, никоим образом положительно на Вас не повлияет и Вам никакой пользы привлечение ИФНС к ответственности тети не принесет. Нет, Вы конечно можете написать заявление в ИФНС и может быть тетю даже оштрафуют, но Вам то какая польза от этого?

По поводу места регистрации ребенка, мать несовершеннолетнего ребенка не имеет обязательного права проживать по месту регистрации ребенка, если остальные собственники (в частности свекровь) против. Регистрация — это не право собственности, наследования и не разрешение на проживание.

Относительно понуждения выделения доли в квартире купленной свекровью на материнский капитал, инициатива должна исходить от Вашего мужа, но Вы можете способствовать этому путем обращения с соответствующим заявлением в местный пенсионный фонд, у которого имеется письменное обязательство свекрови выделить долю в квартире Вашему мужу. Основание: п. 4 ст. 10 Федерального закона от 29.12.2006 N 256-ФЗ «О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей».

По поводу чувства справедливости, мое личное мнение как юриста, всегда лучше договариваться и решать все вопросы мирным путем, в некоторых случаях борьба за  справедливость приводит к чрезвычайно негативным и непоправимым последствиям. Поэтому постарайтесь добиться возможности связаться со своим мужем, может быть все решится за пару звонков родственникам и не потребуется прибегать к помощи госорганов. Это поможет сэкономить и время и нервы Ваши и Ваших родственников. 

По поводу воинской части мужа, сходите в военкомат и повторно напишите заявление о выдаче справки из воинской части о прохождении мужем (отцом ребенка) военной службы по призыву (с указанием срока службы), обязательно зарегистрируйте данное заявление и попросите поставить номер входящего на втором экземпляре, объясните ситуации о срочной необходимости в получении данной справки для оформления пособия, в ходе своих объяснений спокойным тоном поясните, что в случае не получения данной справки будете вынуждены обратиться в вышестоящие органы. Я думаю, при правильном подходе Вам все быстро оформят и выдадут. 

Вроде все.