Имеет ли право работодатель обязать меня изменить имя в телеграм на настоящее?

Здравствуйте, Eva.

Если использование аккаунта в Телеграмм связано с выполнением Вами трудовой функции, вы за это получаете от работодателя плату и это регламентировано, заключенным с Вами, трудовым договором, должностным регламентом и Правилами внутреннего трудового распорядка, то имеет право. 

Также, если Вы являетесь государственной или муниципальной служащей, или проходите службу в правоохранительных структурах, то тогда на Вас распространяются требования «Типового кодекса этики и служебного поведения государственных служащих Российской Федерации и муниципальных служащих». И данную ситуацию (трактуя её широко), при проведении служебной проверки, можно, в принципе, подвести под нарушение ряда положений данного кодекса.

Если же вышеперечисленных обстоятельств нет, то действующее законодательство не обязывает работника отчитываться перед работодателем за создание и использование аккаунтов в мессенджерах и выполнять его требования по их переименованию.