Если все верно, то тогда вопрос: можно ли заключить этот договор на безвозмездной основе?

Здравствуйте!

Нужно ли сниматься с постоянной регистрации по текущему месту жительства? Если да, то когда это делать (уже сейчас или когда?) 

Если Вы собираетесь переехать на постоянное место жительства, то лучше сняться с учета по месту жительства и встать на учет в г.Москве. Если у Вас нет уще уверенности в том, что закрепитесь в  Москве, то можете оставить постояную регистрацию  в г.Ростов-на-Дону, а в Москве сделать регистрацию по месту пребывания.

Можете сняться с регистрационного учета сейчас, а там в Москве встать на учет  по прибытию. Либо Вы можете даже сняться с учета будучи  в Москве, обратившись в МФЦ ( снимут по запросу и поставят на учет в столице).

Согласно Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 N 713  «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»

III. Регистрация граждан по месту жительства

16. Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить:

документ, удостоверяющий личность;

заявление установленной формы о регистрации по месту жительства;
документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение.

Какой договор я должен заключить со знакомым? (как я понимаю договор найма жилого помещения. Если все верно, то тогда вопрос: можно ли заключить этот договор на безвозмездной основе?)

Если знакомый собственник жилого помещения, то с ним Вы можете заключить договор найма жилого помещения. При этом данный вид договора не может быть заключен на безвозмездной основе по определению, так как существенным условием его является плата за наем.

Согласно ст.671 ГК РФ

1. По договору найма жилого помещения одна сторона — собственник жилого помещения или управомоченное им лицо (наймодатель) — обязуется предоставить другой стороне (нанимателю) жилое помещение за плату во владение и пользование для проживания в нем.

Согласно ст.672 ГК РФ

1. Размер платы за жилое помещение устанавливается по соглашению сторон в договоре найма жилого помещения. В случае, если в соответствии с законом установлен максимальный размер платы за жилое помещение, плата, установленная в договоре, не должна превышать этот размер.

Здравствуйте Александр!

В силу статьи 20 Гражданского кодекса  РФ:

Местом жительства признается место, где гражданин постоянно или преимущественно проживает. Гражданин, сообщивший кредиторам, а также другим лицам сведения об ином месте своего жительства, несет риск вызванных этим последствий.

Препятствий для выезда в Москву нет. Но я бы рекомендовал Вам не сниматься с регистрации в г. Ростове-на Дону. Если Ваш знакомый гарантирует Вам прописать Вас и ребенка в Москве,  пусть Вас регистрирует на полгода по месту пребывания. Вам выдадут приложение к паспорту – свидетельство о временной регистрации по месту пребывания. Ее можно будет через полгода продлить. А если у Вас все сложится благополучно, тогда снимитесь с постоянной регистрации в Ростове-на Дону и постоянно зарегистрируетесь в г. Москве.
Однако Вы должны понимать свой статус проживания в Москве. Ведь Ваш знакомый может Вас так же легко снять с регистрации без вашего согласия, как и поставить на нее.  Поэтому необходимо подстраховаться документами. Например, заключите со знакомым договор аренды (или найма) части квартиры со сроком более одного года. В договоре можно указать, что аренда комнаты передается на безвозмездной основе. Почему 12 месяцев? – потому что такой договор подлежит государственной регистрации в регистрационном центре. Если такая регистрация произойдет, то договор аренды будет иметь более весомое значение, чем договор на срок в 11 месяцев, который не требует регистрации. Это Вам все нужно для того, что бы, если возникнут споры в будущем, Вы чувствовали себя защищенным.
Александр! Если Вам потребуется составить договор аренды (найма) или проанализировать уже имеющийся вариант обращайтесь ко мне в чате.
С уважением.