Я хочу уточнить, имеет ли учитель право запрещать красить ногти

Надо смотреть документы школы где прописаны требования к  форме, внешнему виду и т.п.  

Учитель не имеет такого права, это превышение полномочий.

Здравствуйте, при поступлении  учебное заведение ваша мама подписывал документы и ставила пометки об ознакомления с внутренними локальными актами, рекламентирующие внешний вид и форму учащихся, если в этих ЛНА указан запрет на маникюр, то классный руководитель прав, пусть предоставит соответствующий документ вам и вашей маме для повторного ознакомления.