Нарушаю ли я закон по авторскому праву и как сделать такое встраивание без нарушений?

Здравствуйте, Инна!

Естественно мультфильм — это аудиовизуальное произведение — объект авторских и исключительных прав (ст. 1259 ГК РФ). Использовать описанным вами способом полноценные серии мультфильмов, просто как часть сайта, без договора с правообладателем вы не имеете права.

Исключение это положения ст. 1274 ГК РФ:

Свободное использование произведения в информационных, научных, учебных или культурных целях

Допускается без согласия автора или иного правообладателя и без выплаты вознаграждения, но с обязательным указанием имени автора, произведение которого используется, и источника заимствования:
1) цитирование в оригинале и в переводе в научных, полемических, критических, информационных, учебных целях, в целях раскрытия творческого замысла автора правомерно обнародованных произведений в объеме, оправданном целью цитирования, включая воспроизведение отрывков из газетных и журнальных статей в форме обзоров печати;
2) использование правомерно обнародованных произведений и отрывков из них в качестве иллюстраций в изданиях, радио- и телепередачах, звуко- и видеозаписях учебного характера в объеме, оправданном поставленной целью;

Но здесь именно цитирование в определенном объеме и учебная цель — это в каждом случае рассматривается индивидуально.

Более подробная консультация с разъяснением норм действующего законодательства и судебной практики относительно Вашего вопроса возможна в чате. Если Вам требуется помощь в составлении документов или желаете получить разъяснения по имеющимся у Вас документам — это тоже возможно в чате. Услуги в чате оказываются на платной основе.