Здравствуйте.
Ущерб с владельца собаки Вы не взыщет, поскольку в данном случае ущерб автомобилю был причинен не из-за собаки, а по причине нарушения водителем правил дорожно движения. При возникновении опасности для движения (животное на дороге) он должен был не объезжать, а принять меры к торможению (п. 10.1 ПДД), кроме того, согласно того же пункта ПДД Водитель должен вести транспортное средство со скоростью, не превышающей установленного ограничения, учитывая при этом в том числе и дорожные условия. Он, судя по всему этого не учел, поэтому и потерял управление на скользкой дороге, и допустил съезд с проезжей части в кювет. Поэтому оснований для взыскания ущерба с владельца собаки здесь нет.