Может подскажите какие-то статьи закона, на которые мы можем опираться?

Здравствуйте, Мария!

В чем прав Ваш сосед — так это в том, что ЖЭК не имел права выписывать ему какие-либо предписания. Это коммерческая организация, не имеющая подобных полномочий.

По фотографии не слишком понятно, что это за постройка, но если она капитальная, то, исходя из ст. 55.32 Градостроительного кодекса, она должна быть снесена на основании решения суда или решения местной администрации.

С Вас как с третьего лица компенсацию морального вреда не взыщут, можете не беспокоиться. Тем не менее в дальнейшем Вы сможете решить проблему законным путем, если будете обращаться в надлежащие органы.

Если Вам нужна расширенная консультация, обращайтесь ко мне в чат.

Прав  ЖЭК, суд  его  обяжет  снести  данные  постройки.А  что  бы  сосед  не  мнил  себя  шибко  грамотным, Вы  имеете  право  в  судебных  расходах  заявить  свои  требования  о  взыскании  с  соседа денежных  средств  за  потраченное  время.

ГПК РФ Статья 99. Взыскание компенсации за потерю времени
 

 
Со стороны, недобросовестно заявившей неосновательный иск или спор относительно иска либо систематически противодействовавшей правильному и своевременному рассмотрению и разрешению дела, суд может взыскать в пользу другой стороны компенсацию за фактическую потерю времени. Размер компенсации определяется судом в разумных пределах и с учетом конкретных обстоятельств.

Это скорее всего не статьи закона, а сначала нарушения норм пожарной безопасности. СНиП и ГОСТов. Поэтому советую сначала подать жалобы а МЧС на нарушения правил пожарной безопасности, в Роспотребнадзор за нарушение санитарных норм и правил. А также в орган муниципального управления за нецелевое использование земельного участка. По итогам решать дальше.