Добрый день!
Да, все верно: участвуете в закупке со старым наименованием, как только получаете выписку из ЕГРЮЛ с новым наименованием, направляете простое письменное уведомление заказчику (если, конечно, победите) об изменении наименования (как и всем прочим контрагентам) с приложением выписки.
Также нужно будет получить новую ЭЦП, добавить ее сертификат в личный кабинет и после этого изменить сведения об организации в личном кабинете на электронной площадке (через заявку на внесение изменений).
Таким образом, контракт уже сможете подписать под новым наименованием. Смена наименования стороны по нашему гражданско-правовому законодательству не является изменением условий договора, соответственно каких-либо специальных действий, направленных на изменение условий контракта производить не нужно.