И обязательно ли этому сотруднику отрабатывать 2 недели после увольнения?

Добрый день. 

Если вы планируете уволить работника на основании п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ (неоднократное неисполнение работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание), в таком случае необходимо оформить несколько дисциплинарных проступков в соответствии со ст. 192-193 ТК РФ. 

Согласно ст. 261 ТК РФ

Расторжение трудового договора с женщиной, имеющей ребенка в возрасте до трех лет, с одинокой матерью, воспитывающей ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет или малолетнего ребенка — ребенка в возрасте до четырнадцати лет, с другим лицом, воспитывающим указанных детей без матери, с родителем (иным законным представителем ребенка), являющимся единственным кормильцем ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет либо единственным кормильцем ребенка в возрасте до трех лет в семье, воспитывающей трех и более малолетних детей, если другой родитель (иной законный представитель ребенка) не состоит в трудовых отношениях, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 — 8, 10 или 11части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса).

Таким образом, по виновному основанию работника, относящегося к указанным категория, можно уволить