Хотел бы понять, как можно подать иск к Apple за ограничение в пользовании сервисом Apple Pay

Отказ от товара возможен, на том основании, что такого рода недостаток можно признать существенным.

Изначально стоит исходить из разъяснений приведенных в постановлении  Пленума Верховного Суда РФ от 28.06.2012 N 17 «О рассмотрении судами гражданских дел по спорам о защите прав потребителей»

в силу которых 

39. Требования граждан к качеству программного обеспечения, используемого в технически сложном товаре (например, к операционной системе, которая служит для обеспечения его функционирования), должны рассматриваться как требования к качеству товара в целом с учетом его потребительских свойств в соответствии со статьей 469 ГК РФ.

Ввиду того, что в ближайшее время восстановить работоспособность данной функции обеспечить не представляется возможным — то недостаток можно рассматривать как существенный, что в силу ст. 18 Закона РФ «О защите прав потребителей», дает право на отказ от технически сложного товара.

В отношении технически сложного товара потребитель в случае обнаружения в нем недостатков вправе отказаться от исполнения договора купли-продажи и потребовать возврата уплаченной за такой товар суммы либо предъявить требование о его замене на товар этой же марки (модели, артикула) или на такой же товар другой марки (модели, артикула) с соответствующим перерасчетом покупной цены в течение пятнадцати дней со дня передачи потребителю такого товара. По истечении этого срока указанные требования подлежат удовлетворению в одном из следующих случаев:
обнаружение существенного недостатка товара;

И тут стоит исходить из понимания существенного недостатка, под которым применительно к Вашему случаю стоит понимать неустранимый недостаток товара — недостаток, который не может быть устранен посредством проведения мероприятий по его устранению с целью приведения товара в соответствие с обязательными требованиями, предусмотренными законом или в установленном им порядке, или условиями договора.

Поэтому формальные основания возврата оплаченной суммы за товар у Вас есть.

Но тут стоит учесть и то истек ли у Вас гарантийный срок или нет

Если с момента приобретения телефона прошло более двух лет и истек гарантийный срок то, по смыслу ст. 19 Закона Вам нужно обратиться к исполнителю изначально с требованием об устранении недостатка, а в случае его не устранения — о возврате оплаченной за товар суммы.

И основываться Вам нужно на ст. 19 Закона РФ «О защите прав потребителей», в силу которой

6. В случае выявления существенных недостатков товара потребитель вправе предъявить изготовителю (уполномоченной организации или уполномоченному индивидуальному предпринимателю, импортеру) требование о безвозмездном устранении таких недостатков, если докажет, что они возникли до передачи товара потребителю или по причинам, возникшим до этого момента. Указанное требование может быть предъявлено, если недостатки товара обнаружены по истечении двух лет со дня передачи товара потребителю, в течение установленного на товар срока службы или в течение десяти лет со дня передачи товара потребителю в случае неустановления срока службы. 

Таким образом, все претензии по истечении двух лет  Вам нужно адресовать не продавцу, а производителю товара.

У производителя в силу закона есть 20 дней на устранение недостатка  — по истечении которых, если недостаток не будет устранен Вы вправе требовать возврата оплаченной суммы.

 Если указанное требование не удовлетворено в течение двадцати дней со дня его предъявления потребителем или обнаруженный им недостаток товара является неустранимым, потребитель по своему выбору вправе предъявить изготовителю (уполномоченной организации или уполномоченному индивидуальному предпринимателю, импортеру) иные предусмотренные пунктом 3 статьи 18 настоящего Закона требования или возвратить товар изготовителю (уполномоченной организации или уполномоченному индивидуальному предпринимателю, импортеру) и потребовать возврата уплаченной денежной суммы.

Если с момента покупки телефона прошло менее 2 — х лет или телефон еще находится на гарантии — то Вы свои требования о возврате оплаченной суммы можете сразу адресовать исполнителю, основываясь на ст. 18 Закона РФ «О защите прав потребителей», без предъявления требования об устранении недостатка товара.

Но тут есть еще один нюанс — нужно смотреть кто именно является производителем техники и будет ли в стране его места  нахождения исполнено решение российского суда. 

как довести дело до конца и какую сумму можно запросить в виде компенсации за нарушение моих прав потребителя.

 Алгоритм тут зависит от того, сколько времени прошло с момента покупки телефона и истек ли к настоящему времени срок годности?

По общему правилу, обратиться с иском Вы можете и в суд по месту Вашего жительства, заявив требование об отказе от исполнения договора и возврате оплаченной за товар суммы. 

Требование о взыскании неустойки сомневаюсь что будут удовлетворены — поскольку они не обоснованы, если конечно иск не подавали к продавцу.

По смыслу ст. 18 Закона, заявить к изготовителю могут только следующие требования

потребовать замены на товар этой же марки (этих же модели и (или) артикула);
отказаться от исполнения договора купли-продажи и потребовать возврата уплаченной за товар суммы. 

И только их неудовлетворение по смыслу ст. 23 Закона дает право на расчет и взыскание неустойки.

И самый важный момент.

Иск тут популистский, поскольку с США отсутствует договор об исполнении решений российских судов.