Можем ли мы довезти бабушку до входа в МФЦ и попросить сотрудника выйти к машине?

Здравствуйте, Александр!

Вы можете пригласить работника МФЦ по месту нахождения бабушки

4(1). Многофункциональный центр может по запросу заявителя обеспечивать выезд работника многофункционального центра к заявителю для приема заявлений и документов, необходимых для предоставления государственных и муниципальных услуг, а также доставку результатов предоставления государственных и муниципальных услуг, в том числе за плату.

Постановление Правительства РФ от 22.12.2012 N 1376 

«Об утверждении Правил организации деятельности многофункциональных центров предоставления государственных и муниципальных услуг».

Такие же услуги может оказать и орган регистрационного учета:

88. Для приема документов от гражданина, признанного недееспособным или не имеющего возможности по состоянию здоровья обратиться к лицу, ответственному за прием и передачу в орган регистрационного учета документов, по его просьбе, просьбе законных представителей или родственников, оформленной в письменном виде, осуществляется выход (выезд) должностного лица органа регистрационного учета, ответственного за прием заявления и документов, необходимых для предоставления государственной услуги, по месту предполагаемой регистрации гражданина.  

Приказ МВД России от 31.12.2017 N 984

«Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации».

Только пишите заявление.