Как мне поступить, есть ли шанс вернуть деньги через суд?

В случае отсутствия Договора в письменной форме необходимо будет доказывать перечисления за наём жилого помещения. Учитывая дату начала отношений с собственником это будет проблематично

На что наймодатель отказался возвращать депозит в размере 40000руб. Объяснив это тем что при проживании, ломалась стиральная машина и сливной бочек унитаза. Но при поломке, я ставила в известность наймодателя, вызывали мастера и мастер подтверждал естественный износ техники, и в связи с этим я говорила, что оплачивать не буду ремонт техники, так как это не по моей вине поломка.

 А есть документ подтверждающий вывод мастера о том, что это естественный износ? Что нибудь составлялось?

Наймодатель согласилась и просила оплатить в счет аренды жилья или выплатить со своих денег, а в след мес удержать затраченную сумму на ремонт Про депозит- наймодатель тогда и не обмолвился. Я оплатила в счет аренды

То есть в следующем месяце после поломки, вы выплатили стоимость найма меньше на сумму ремонта?  В принципе так можно было поступить. 

А подтверждение этому есть.

Ваши обязанности как нанимателя состоят:

1. Оплата за проживание.

2. Оплата коммунальных услуг.

3. Возмещение ущерба, если вы его причинитель.

ГК РФ Статья 678. Обязанности нанимателя жилого помещения
Наниматель обязан использовать жилое помещение только для проживания, обеспечивать сохранность жилого помещения и поддерживать его в надлежащем состоянии.

 
Наниматель обязан своевременно вносить плату за жилое помещение. Если договором не установлено иное, наниматель обязан самостоятельно вносить коммунальные платежи.

То есть если вы все это уплатили, вреда не причиняли, то вы можете требовать возврата обеспечительного платежа, сославшись при этом на соответствующую норму договора.

Закон предусматривает претензионный и судебный порядок. Пишите ему претензию. Если откажет, то нужно обращаться в суд.