Какую именно претензию я могу предъявить?

С учетом моего первого ответа приведенного выше, теперь что касается этого вопроса:

3. Работдатель часто привлекает меня к работе в выходные и праздники, при этом я ни разу не подписывал согласие на работу.

Общие положения закреплены в статье ТК РФ Статья 113. Запрещение работы в выходные и нерабочие праздничные дни. Исключительные случаи привлечения работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни, согласно которым следует, что:

Работа в выходные и нерабочие праздничные дни запрещается…
В других случаях привлечение к работе в выходные и нерабочие праздничные дни допускается с письменного согласия работника…-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/7d22494d1486cfffbc4efaf51dc2e5af86ffb8f9/

Дополнительные разъяснения Роструда можете посмотреть по следующей официальной ссылке:

Действия работодателя при привлечении работника к работе в выходные и нерабочие праздничные дни-https://онлайнинспекция.рф/instruction/266

Если работодатель привлекает работников к работе в такие дни без соблюдения требований закона, это также является нарушением.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учетом двух моих предыдущих ответов приведенных выше, теперь что касается этого вопроса:

Оформляются только приказы о направлении в командировки, при этом они подписываются не ПЕРЕД командировкой, а ПОСЛЕ, раз в месяц. Это ведь нарушение???

Порядок регулируется  Постановлением  Правительства РФ от 13.10.2008 N 749   «Об особенностях направления работников в служебные командировки» (вместе с «Положением об особенностях направления работников в служебные командировки»).

Из Постановления следует. что:

3.  Работники направляются в командировки на основании письменного решения работодателя на определенный срок для выполнения служебного поручения вне места постоянной работы. -http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_80737/856de09213dec309d439af5754055dbc4acab98d/

Решение оформленное приказом, т.е. локальным нормативным актом, является решением работодателя в случае если оно содержит ве необходимые реквизиты, в том числе и подпись уполномоченного должностного лица (руководителя).

Согласно положениям  ГОСТ Р 7.0.97-2016 «ОРГАНИЗАЦИОННО-РАСПОРЯДИТЕЛЬНАЯ ДОКУМЕНТАЦИЯ» следует, что:

     4 Реквизиты документа

22 — подпись;-https://docs.cntd.ru/document/1200142871

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

Работдатель часто привлекает меня к работе в выходные и праздники, при этом я ни разу не подписывал согласие на работу

 Это незаконно. При отсутствии письменного Вашего согласия, Вы можете вообще не выходить на работу. работодатель не сможет привлечь Вас к дисциплинарной ответственности. 

ТК РФ Статья 113. Запрещение работы в выходные и нерабочие праздничные дни. Исключительные случаи привлечения работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни
Работа в выходные и нерабочие праздничные дни запрещается, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом.

 
Привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни производится с их письменного согласия в случае необходимости выполнения заранее непредвиденных работ, от срочного выполнения которых зависит в дальнейшем нормальная работа организации в целом или ее отдельных структурных подразделений, индивидуального предпринимателя.

Как выстроить беспроигрышную стратегию поведения, чтобы в перспективе взыскать с работодателя в суде (или в досудебном порядке)компенсацию за нарушение моих прав?

 В данный момент нужно проверить оплатили ли Вам работу в выходные или праздничные дни в установленном порядке в двойном размере. Если нет -то предъявить претензию по этому поводу. 

Еще актуальным является проверка в рабочий день ли Вы возвращались ли из командировки? 

Если нет, то тоже есть может быть недоплата со стороны работодателя. 

Также мне было отказано в очередном отпуске, с мотивировкой о том, что некому работать (есть аудиозапись разговора). Как я понимаю, это нарушение моих прав

Право на ежегодный оплачиваемый отпуск гарантировано ст. 21 ТК РФ. Предоставлять его работодатель обязан, исходя из ст. 122 ТК РФ, ежегодно в соответствии с графиком очередности. Если в организации нет графика отпусков — это ее нарушение.

Обязан-ли работодатель предоставить мне неоплачиваемый отпуск до 14 дней по первому требованию?

 В соответствии со ст. 263 ТК РФ, отпуск без сохранения заработной платы должен предоставляться Вам в любое удобное время, поскольку на Вашем попечении находятся двое детей младше 14 лет.

Как мне получить максимальные выплаты с работодателя и постепенно уйти с работы без последствий? Просто есть подозрение, что в случае, если я буду предъявлять претензии, работодатель попробует уволить меня по статье

Увольнение по статье легко оспаривается в суде. В этом случае Вы вправе требовать восстановления на работе или изменения формулировки основания увольнения. А дополнительно еще взыщете компенсацию вынужденного прогула и компенсацию морального вреда.

Так что действуйте в полном соответствии с трудовым законодательством.

Как выстроить беспроигрышную стратегию поведения, чтобы в перспективе взыскать с работодателя в суде (или в досудебном порядке)компенсацию за нарушение моих прав? Какую именно претензию я могу предъявить?

 Направьте мотивированную претензию с обоснованием всех требований (ее составление можете заказать у юриста в чате), обязательно указав на последствия, которые ждут работодателя в случае ее неудовлетворения.

Для начала рекомендую запросить копию трудового договора для прояснения ситуации с Вашим рабочим временем и дальнейшего формирования позиции.