Директор Акционерного общества акционер ) написал заявление на увольнение, Председатель совета директоров

Здравствуйте,  Надежда Георгиевна.

Если собственник организации (уполномоченное лицо) был уведомлен письменно за один месяц, руководитель организации вправе быть уволенным с должности руководителя на основании статьи 280 ТК.

Трудовой кодекс

Статья 280. Досрочное расторжение трудового договора по инициативе руководителя организации
 
Руководитель организации имеет право досрочно расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя (собственника имущества организации, его представителя) в письменной форме не позднее чем за один месяц.

Трудовую книжку может подписать И.О. руководителя организации, иное уполномоченное руководителем лицо, заместитель, например.

Если таких лиц, в организации нет, то руководитель АО может его назначить.

Также бывший руководитель после увольнения может подать в отношении себя заявление в ФНС об исключении сведений о нем как о руководителе в ЕГРЮЛ.

С уважением!  Г.А. Кураев

Здравствуйте!

Основанием внесения записи в трудовую книжку и выдачи трудовой книжки работнику (в том числе) является приказ об увольнении. Если такого приказа нет, то выдача трудовой книжки отделом кадров будет неправомерной. 

Речь идет о приказе единоличного исполнительного органа (генерального директора). Если срок предупреждения (1 месяц) истек, то генеральный директор может издать приказ о своем увольнении, независимо от наличия решения Совета директоров. И такой приказ (именно приказ, а не просто зарегистрированное заявление) является основанием для выдачи трудовой книжки. 

ТК РФ Статья 280. Досрочное расторжение трудового договора по инициативе руководителя организации
  
Руководитель организации имеет право досрочно расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя (собственника имущества организации, его представителя) в письменной форме не позднее чем за один месяц.