Куда я могу обратиться с жалобой и как быстрее решить данный вопрос?

Мне убрали доплату за совмещение должностей,

Согласно ст. 60.2 ТК РФ

С письменного согласия работника ему может быть поручено выполнение в течение установленной продолжительности рабочего дня (смены) наряду с работой, определенной трудовым договором, дополнительной работы по другой или такой же профессии (должности) за дополнительную оплату (статья 151 настоящего Кодекса)…
Срок, в течение которого работник будет выполнять дополнительную работу, ее содержание и объем устанавливаются работодателем с письменного согласия работника.

Т.о. пока Вы совмещаете должности — Вам должны производить оплату. 

а так же другие вознаграждения за превышение объема работ. Правомерно ли это, если в тарификации от 01.02.2022 заработок составляет 105293, а в этом месяце его урезали в половину? Руководство указывает, что все «доплаты» до 31 мая. Но в прошлые годы работы в этом учреждении все выплачивалось по тарификации и в летние месяцы.

Аналогично (та же статья 60.2 ТК РФ) — Вам должны оплачивать и дополнительную работу по такой же профессии:

Поручаемая работнику дополнительная работа по такой же профессии (должности) может осуществляться путем расширения зон обслуживания, увеличения объема работ.

Это императивные требования Трудового кодекса, они не ограничиваются наступлением летнего периода времени. 

Согласнос ст. 135 ТК РФ

Заработная плата работнику устанавливается трудовым договором в соответствии с действующими у данного работодателя системами оплаты труда.
Системы оплаты труда, включая размеры тарифных ставок, окладов (должностных окладов), доплат и надбавок компенсационного характера, в том числе за работу в условиях, отклоняющихся от нормальных, системы доплат и надбавок стимулирующего характера и системы премирования, устанавливаются коллективными договорами, соглашениями, локальными нормативными актами в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права....

Условия оплаты труда, определенные коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, не могут быть ухудшены по сравнению с установленными трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права.

Т.о. конкретная величина выплат определяется локальными актами работодателя, но такие выплаты согласно ТК РФ, обязательно должны быть. 

Согласно Письму Минобразования РФ от 22 января 1998 г. N 20-58-07ин/20-4 «Об учителях-логопедах и педагогах-психологах учреждений образования»

За работу с детьми, имеющими отклонения в развитии речи, ставка заработной платы учителей-логопедов повышается на 15-20 процентов.

Но Письмо не является нормативно-правовым актом. Этот размер не обязателен для работодателя.

Также согласно п. 4.2, 3.2 Приказа Министерства образования и науки РФ от 11 мая 2016 г. N 536 «Об утверждении Особенностей режима рабочего времени и времени отдыха педагогических и иных работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность»

4.2. В каникулярное время, не совпадающее с отпуском педагогических работников, уточняется режим их рабочего времени. Педагогические работники в каникулярное время выполняют педагогическую (в том числе методическую и организационную)работу, связанную с реализацией образовательной программы, в пределах нормируемой части их педагогической работы (установленного объёма учебной (тренировочной) нагрузки (педагогической работы), определённой им до начала каникулярного времени, а также времени, необходимого для выполнения работ, предусмотренных пунктом 2.3 настоящих Особенностей (при условии, что выполнение таких работ планируется в каникулярное время).

2.3. Другая часть педагогической работы, определяемая с учётом должностных обязанностей, предусмотренных квалификационными характеристиками по должностям, занимаемым работниками, ведущими преподавательскую работу, а также дополнительных видов работ, непосредственно связанных с образовательной деятельностью, выполняемыхс их письменного согласия за дополнительную оплату

Т.е. опять же: если продолжаете работать в каникулярное время — должны продолжать платить.