Может ли работодатель требовать от меня этого, если я не хочу с ними сотрудничать?

Если ваш трудовой договор не был должным образом зарегистрирован работодателем и по нему не было отчислений в фсс, фнс, то соответственно, заявив о вас, впоследствии работодатель рискует быть привлеченным к ответственности. Если вы признаете юридическую силу договора, то лучше отработать 2 недели и впоследствии обратиться в надзирающие органы. 

Здравствуйте, Павел!

Все зависит от того, какой договор был с Вами заключен. Если трудовой, то, согласно ст. 80 ТК РФ Вы обязаны предупредить работодателя о намерении его расторгнуть за 2 недели. Если же договор — гражданско-правовой, то условия его расторжения нужно искать в тексте. Как правило, это происходит по соглашению сторон с уведомлением в определенный срок.

Если Вам нужна расширенная платная консультация с изучением документов, можете обратиться ко мне в чат.

Здравствуйте!

"… устроен не официально..." и "… заключен договор...", не совсем корректно.

Если между Вами и «работодателем» (заказчиком или контрагентом) был заключен гражданско-правовой договор, то нужно отработать две недели или не нужно зависит от условий этого договора.

Если Вам уже оплатили эти 2 недели, то я бы рекомендовал отработать, потому что, например, если у Вас был заключен договор оказания услуг или подряда, в котором указан срок предоставления Вами работ, то заказчик сможет потребовать возврат. Если же между Вами был заключен стандартный договор и денежные средства за предстоящие 2 недели Вы не получили, то нет, Вы ничем не обязаны.
Если трудовой договор, то ТК РФ предусматривает обязанность работника уведомить работодателя о своем уходе не менее чем за 2 недели.

Чтобы более точно ответить на Ваш вопрос можно было бы посмотреть договор, но это платно)))