Или я могу потребовать заключения трудового договора?

Здравствуйте Анна

Согласно абзацу второму статьи 67 Трудового Кодекса Российской Федерации

 Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

В Вашем случае заключение договора о полной материальной ответственности будет служить доказательством допуска Вас к работе, а следовательно, подтверждением заключения трудового договора.