Здравствуйте, если после развода ребенок остался с отцом, но мать не лишена родительских прав, имеет ли отец на отсрочку от армии, ребенку 5 лет

Доброго времени суток

В вашем случае такой вариант получения отсрочки от призыва не подойдет.

Согласно ст. 18 Федеральный закон от 26.02.1997 N 31-ФЗ  «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации» отсрочка предоставляется гражданам

4) имеющим на иждивении четырех и более детей в возрасте до 16 лет или имеющим на иждивении и воспитывающим без матери одного ребенка и более в возрасте до 16 лет (гражданам женского пола, имеющим одного ребенка и более в возрасте до 16 лет, а также в случае беременности, срок которой составляет не менее 22 недель);
Или как отец вы должны воспитывать детей без матери. То есть не просто развод, а с лишением матери родительских прав.

Согласно требований ст. 70 СК РФ

1. Лишение родительских прав производится в судебном порядке. Дела о лишении родительских прав рассматриваются по заявлению одного из родителей или лиц, их заменяющих, заявлению прокурора, а также по заявлениям органов или организаций, на которые возложены обязанности по охране прав несовершеннолетних детей (органов опеки и попечительства, комиссий по делам несовершеннолетних, организаций для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, и других).
Основания лишения прав указаны в ст.69 СК РФ 

СК РФ Статья 69. Лишение родительских прав \ КонсультантПлюс (consultant.ru)

Если мать подходит под них, то вам придется обращаться в суд. И учитывать, что это право суда — лишить родительских прав.