Передадут ли они копию в ГАИ и начнётся ли срок исчисления?

Согласно части 1 статьи 32.7 КоАП РФ течение срока лишения специального права начинается со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права.
В течение трех рабочих дней со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права лицо, лишенное специального права, должно сдать документы, предусмотренные частями 1 — 3.1 статьи 32.6 КоАП РФ, в орган, исполняющий этот вид административного наказания, а в случае утраты указанных документов заявить об этом в указанный орган в тот же срок (часть 1.1 статьи 32.7 КоАП РФ).
В соответствии с частью 2 статьи 32.7 КоАП РФ в случае уклонения лица, лишенного специального права, от сдачи соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов срок лишения специального права прерывается; течение срока лишения специального права начинается со дня сдачи лицом либо изъятия у него соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов, а равно получения органом, исполняющим этот вид административного наказания, заявления лица об утрате указанных документов.

В пункте 31 Постановления Пленума Верховного Суда Российской Федерации от 25 июня 2019 N 20 «О некоторых вопросах, возникающих в судебной практике при рассмотрении дел об административных правонарушениях, предусмотренных главой 12 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях», разъяснено, что назначение административного наказания в виде лишения права управления транспортными средствами за совершение административных правонарушений, предусмотренных главой 12 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях, возможно лицам, получившим в установленном законом порядке такое право, лицам, лишенным права управления транспортными средствами, а также лицам, чье право управления транспортными средствами временно ограничено по основаниям, предусмотренным законом (статьи 25, 26, 28 Федерального закона от 10 декабря 1995 года N 196-ФЗ «О безопасности дорожного движения», статья 67.1 Федерального закона от 2 октября 2007 года «229-ФЗ „Об исполнительном производстве“). При этом срок исполнения административного наказания в виде лишения права управления транспортными средствами, назначенного лицу, уже лишенному такого права на основании постановления о назначении административного наказания (в том числе не вступившего в законную силу), начинает исчисляться не со времени вступления в законную силу постановления, а со дня, следующего за днем окончания срока административного наказания, примененного ранее (часть 3 статьи 32.7 КоАП РФ). В то же время необходимо иметь в виду, что сроки назначенного административного наказания в виде лишения права управления транспортными средствами и уголовного наказания в виде лишения права заниматься деятельностью по управлению транспортными средствами исчисляются самостоятельно.
Таким образом, обязанность сдать водительское удостоверение в связи с лишением права управления транспортными средствами лежат на гражданине, который лишен ВУ.

Роман, в Вашем случае срок лишения прав начинает течь через 10 дней после получения Вами судебного постановления о лишении водительского удостоверения. В случае подачи Вами апелляционной жалобы на это постановление — срок начинает течь после вынесения решения апелляционной инстанцией.