Здравствуйте.
Если Ваша бабушка подарит Вам квартиру, то она больше не будет входить в состав ее наследства, стало быть другие родственники не смогут претендовать на нее в качестве такого наследства (ст. 1112 ГК РФ)
В состав наследства входят принадлежавшие наследодателю на день открытия наследства вещи, иное имущество, в том числе имущественные права и обязанности.
Договор дарения, если речь идет о целой квартире, можно оформить в простой письменной форме в виде одного документа, который подпишете Вы и Ваша бабушка, после чего сдадите его на регистрацию перехода права в МФЦ.
Для самого дарения подтверждать Ваше родство НЕ нужно. Документы могут понадобится для того, чтобы избежать уплаты налога от приобретенной Вами безвозмездно квартиры.
Справка о дееспособности для дарения опять же необязательно. Но Ваша бабушка может пройти добровольное освидетельствование у психиатра и невропатолога перед сделкой на платной основе. Это может понадобится на случай, если другие родственники после ее смерти захотят оспорить договор дарения, ссылаясь на то, что в тот момент она не отдавал отчет своим действиям.
Впрочем, если бабушка не состоит на учете у психиатра, не имеет проблемой с психикой или с центральной нервной системой (инсульты, опухоли головного мозга, склероз), то можно этим не заморачиваться, так как риск оспаривания сделки при таких обстоятельствах близок к нулю.
Если бабушка старше 80 лет, то имеется риск оспаривания договора дарения, если вы его и заключите, по основаниям, предусмотренным ст. 177 Гражданского Кодекса РФ:
Если всё-таки Вы намерены заключить договор дарения, то лучше предварительно пройти медицинский осмотр у врача-психиатра, который выдаст заключение о том, понимает ли бабушка значение совершаемой ею сделки или нет, может ли она руководить своими действиями. Такая справка действительна не более 3-х дней. Но в МФЦ она не нужна, она может понадобиться в суде, если мама будет оспаривать договор дарения после смерти бабушки. Документы о родстве также в МФЦ не нужны, они нужны будут только если возникнет вопрос налогообложения.
А почему бабушка не хочет обращаться за свидетельством о браке и к кому она должна за этим свидетельством обращаться? Квартира была куплена в период брака, и дедушка жив? Если квартира была куплена в период брака, то надо получить нотариально удостоверенное согласие супруга на отчуждение этого общего имущества супругов.