Имею ли я право на долю в квартире
Квартира была получена в 1967 году на троих человек - меня, отца и мать. Далее появилась еще сестра. При приватизации ответственным квартиросъемщиком стала мать. Я был прописан в этой квартире с 1967 года и по сей день, другой жилплощади не имею. Отец умер, теперь умерла и мать, оставив завещание на все движимое и недвижимое имущество своему внуку - сыну моей сестры. Имею ли я право на какую то долю в этой квартире (через суд), и могут ли они меня выписать? Или вся квартира просто уйдет ее внуку?

Да, единственный собственник - мать
По общему правилу, в соответствие со ст. 1119 ГК РФ, завещатель вправе по своему усмотрению завещать имущество любым лицам. Согласно п. 2 ст. 292 ГК РФ, переход права собственности на жилой дом или квартиру к другому лицу является основанием для прекращения права пользования жилым помещением членами семьи прежнего собственника, если иное не установлено законом.
Однако, касательно членов семьи квартиросъемщика, в результате приватизации ставшего собственником, есть следующее мнение Верховного суда РФ. Приватизация государственного (муниципального) жилого помещения проводится с согласия всех несовершеннолетних и совершеннолетних членов семьи, совместно проживающих с нанимателем (ст. 2 Закона РФ от 04.07.91 № 1541-1 «О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации»). Если в момент приватизации помещения бывшие члены семьи собственника имели равные права пользования этим помещением с лицом, его приватизировавшим, правило п. 2 ст. 292 ГК РФ к ним не применяется (Постановление Пленума Верховного суда РФ от 02.07.2009 № 14 «О некоторых вопросах, возникших в судебной практике при применении Жилищного кодекса Российской Федерации»): "давая согласие на приватизацию занимаемого по договору социального найма жилого помещения (без которого она была бы невозможна), бывшие члены семьи нанимателя исходили из того, что право пользования данным жилым помещением для них будет носить бессрочный характер и, следовательно, оно должно учитываться при переходе права собственности на жилое помещение по соответствующему основанию к другому лицу (например, купля-продажа, мена, дарение, рента, наследование)."
Если на момент приватизации вы давали согласие на ее осуществление, то при вступлении в права наследования на квартиру ваш племянник не сможет вас выселить.
Касательно доли. В случае наследования по завещанию, вы имеете на нее право только в порядке ст. 1149 ГК РФ: если вы нетрудоспособный сын наследодателя, то имеете право на обязательную долю в наследстве независимо содержания от завещания. В других случаях такого права нет.