Что мне делать в таком случае?

Здравствуйте! В решении Вашего вопроса необходимо руководствоваться Приказом МВД России от 16.09.2019 N 623  «Об утверждении Инструкции об организации деятельности Министерства внутренних дел Российской Федерации и его территориальных органов при рассмотрении заявлений по вопросам гражданства...

VI. Удостоверение наличия у ребенка гражданства Российской Федерации. Таким образом, удостоверение наличия у ребенка, не достигшего возраста 14 лет, гражданства Российской Федерации осуществляется путем проставления отметки в виде оттиска штампа  на свидетельстве о рождении ребенка.

Кроме того, удостоверение наличия у ребенка гражданства Российской Федерации может осуществляться путем выдачи ребенку заграничного паспорта  

Также, аналогичный порядок подтверждения гражданства закреплен Указом Президента РФ от 14.11.2002 N 1325  гражданства Российской Федерации» .

На основании пункта 45. — наличие гражданства Российской Федерации удостоверяется свидетельством о рождении с отметкой, подтверждающей наличие гражданства (см.п.Ж)

На основании п 45.1. На основании ряда пунктов указа, а именно  40, 45.3, 45.4, 46, 48, 48.1 и 49, наличие гражданства у детей может удостоверяться свидетельством о рождении к которому выдается вкладыш, подтверждающим наличие гражданства Российской Федерации.

По данному вопросу нужно обращаться в отдел миграции МВД. Ссылка

Кроме того, свидетельство о рождении для предоставлении в Румынии не требует проставление апостиля между Россией и Румынией действует двусторонний договор об оказании правовой помощи по гражданским, семейным и уголовным делам от 03.04.1958. Вот этот договор

Вот также разъяснения почему для Румынии не требуется апостиль: https://apostil-info.ru/articles/konsulskaya-legalizatsiya-dlya-rumynii/

Это же подтверждено и Письмом Министерства юстиции РФ от 21 марта 2019 г. № 06-35758/19 “О признании документов без легализации (апостилирования)”.

По информации, поступившей из Министерства иностранных дел Российской Федерации, компетентные органы большинства иностранных государств придерживаются положений двусторонних договоров о правовой помощи и не предъявляют необоснованных требований о дополнительном удостоверении российских официальных документов. К таким государствам относятся: Босния и Герцеговина, Венгрия, Вьетнам, Корейская Народно-Демократическая Республика, Куба, Литва, Монголия, Польша, Румыния, Сербия, Хорватия, Черногория, Чехия, Эстония.

Добрый день! 

При подаче документов на восстановление гражданства следует подавать документы на автоматическое восстановление несовершеннолетних детей на основании свидетельства о рождении, однако, насколько я понимаю, Румыния такое свидетельство не признает.

Не совсем так. ЕС не признает выездные документы, выданные в ЛНР, свидетельство о рождении таковым не является. Цель ограничить въезд, к получению гражданства запрет не должен относиться.

https://eur-lex.europa.eu/legal-content/EN/TXT/?uri=CELEX%3A52022PC0662&qid=1662736806501

DECISION OF THE EUROPEAN PARLIAMENT AND OF THE COUNCIL

on the non-recognition of Russian travel documents issued in occupied foreign regions

Finally, although the travel documents issued by Russia in the occupied foreign regions would not be recognised for purposes of entry into the Schengen area, the validity of those documents as identity documents in a domestic context is not affected.

Обратите внимание, документы должны не признаваться именно применительно к пересечению границы. 

Какой признанный Румынией российский документ, замещающий свидетельство, следует предоставить?

Альтернативы здесь нет. Второе свидетельство в другом регионе Вам не выдадут. Если только 

Что мне делать в таком случае?  Или в таком случае у меня имеется единственный выход — вступать в румынское гражданство самостоятельно?

Либо самостоятельно, а потом воссоединение семьи, либо юрист в ЕС, который будет обжаловать отказ. 

Здравствуйте,

Какой признанный Румынией российский документ, замещающий свидетельство, следует предоставить?

Никакого другого документа, замещающего свидетельство о рождении ребенка, выданное в ЛНР, Вам выдано не будет и не может быть выдано после вхождения в состав РФ. Все документы, действовавшие на территории новых субъектов на день принятия в РФ, признаются и действуют в РФ без ограничения срока и какого-либо подтверждения или легализации. Таким образом, свидетельство о рождении, выданноп в ЛНР действующий документов в РФ, другого не выдадут.  Его Вам и следует подавать. 

Я вижу только вот в чем может возникнуть проблема.

Для подачи документов на гражданство, требуется их легализация (апостилирование), если нет международного соглашения между странами и они обе не являются членами Минской конвенции и нотариально заверенный перевод на румынский язык.

Между РФ и Румынией действует заключенный еще между СССР и Румынской Народной Республикой договор «Об оказании правовой помощи по гражданским, семейным и уголовным делам» от 3 апреля 1958 года.

docs.cntd.ru/document/1900200

Согласно которому, в силу ст.12 Договора, документы, которые на территории одной из договаривающихся сторон были выданы или заверены компетентным органом и удостоверены подписью и официальной печатью, принимаются на территории другой договаривающейся стороны без легализации.

Но, данное свидетельство о рождении выдано не РФ, и могут затребовать апостилирования такого свидетельства.И если в РФ поставить апостиль, то возможно такое, что такой документ не примут органы власти Румынии. 

Однако, я не вижу других вариантов как документы все же подавать. Свидетельство о рождении выданное ч ЛНР, потому что другого быть не может.

Что Вы сейчас на себя только получите гражданство, что потом будете воссоединяться, в любом случае на ребенка подавать свидетельство о рождении, если до 14 лет. 

Поэтому, на мой взгляд, надо подавать. В случае чего, обжаловать. Но опять-таки, здесь пока только гадать, пи какому основанию могут отказать. Может и не возникнет проблем.