Может ли действующий сотрудник правоохранительных органов работать по договору ГПХ грузчиком на складе?

Общего запрета на осуществление оплачиваемой деятельности для всех госслужащих нет.

При этом ГПД не должен содержать признаков трудового договора (ст. 15 ТК РФ п. 4 ст. 5.27 КоАП РФ), в противном случае договор будет переквалифицирован в трудовой со всеми вытекающими неблагоприятными последствиями как для самого работника, так и для работодателя.