Могут ли расторгнуть трудовой договор в этом случае?

Здравствуйте, Оксана!

В ТК РФ вообще нет такой процедуры как «перенаименование должности», хотя такое и практикуется. 

При этом при перенаименовании не должна изменяться трудовая функция по должности.

В описанной Вами ситуации усматривается исключение из штатного расписания  должности 

заместителя директора по хозяйственной части

 то есть сокращение штата, и введение другой должности 

заместитель директора по финансово-хозяйственной деятельности

 с более высокими квалификационными требованиями и дополнительными функциями по финансовой части.

Переименование должности с изменением трудовой функции работника должно оформляться как перевод на другую работу (ст. 72.1 ТК РФ). 

По мнению Минтруда России, выраженному в Письме Минтруда России от 06.06.2017 N 14-2/10/В-4361, внедрение профессионального стандарта не может служить основанием для изменения условий трудового договора по инициативе работодателя в соответствии со ст. 74 ТК РФ. Кроме того, приведение наименования должностей в соответствие с требованиями закона, изменение в связи с этим трудовой функции работника (работы по должности в соответствии со штатным расписанием, профессии, специальности с указанием квалификации) не может служить основанием для изменения условий трудового договора по ст. 74 ТК РФ.

Что может или не может произойти — это вопрос гадания. Пока ничего не случилось, нарушения нет. В случае нарушения ваших трудовых прав Вы имеете право обратиться в суд.  

Можете в качестве превентивной меры обсудить с работодателем ситуацию и предостеречь от нарушения закона. 

Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).