Может ли от имени ИП подписывать трудовые договора и делать записи в трудовых книжках оформленный по труд.договору директор?

Добрый день,

да, если такие полномочия есть в приказе о предоставлении полномочий и его должностной инструкции

Ирина, да.

Иное лицо по доверенности вправе подписывать трудовые договоры, вести трудовые книжки, утверждать локальные акты, но ответственность за все будет нести ИП. Объясняется это тем, что указанные действия осуществляет работодатель (ст. 22 ТК). В данном случае работодателем является ИП. Для того, чтобы иному лицу представлять интересы ИП перед третьими лицами, в том числе перед работниками выдают доверенность (ст. 185 ГК).