Как подать на алименты в случае когда отец и мать ребенка в браке не были и не живут вместе?

Если будет доказано, что ответчик отец ребенка, то да, конечно.

Как правило назначается по делу экспертиза ДНК.

Расходы на экспертизу потом взыщут с проигравшей стороны.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 16.05.2017 N 16
«О применении судами законодательства при рассмотрении дел, связанных с установлением происхождения детей»

20. Для разъяснения вопросов, связанных с происхождением ребенка, суд вправе с учетом мнения сторон и обстоятельств по делу назначить экспертизу, в том числе и молекулярно-генетическую, позволяющую установить отцовство (материнство) с высокой степенью точности.
Вместе с тем судам следует учитывать, что заключение эксперта (экспертов) по вопросу о происхождении ребенка является одним из доказательств, оно не имеет для суда заранее установленной силы и подлежит оценке в совокупности с другими имеющимися в деле доказательствами (часть 2 статьи 67, часть 3 статьи 86 ГПК РФ).
21. В соответствии с частью 3 статьи 79 ГПК РФ при уклонении стороны от участия в экспертизе, непредставлении экспертам необходимых материалов и документов для исследования и в иных случаях, если по обстоятельствам дела и без участия этой стороны экспертизу провести невозможно, суд в зависимости от того, какая сторона уклоняется от экспертизы, а также какое для нее она имеет значение, вправе признать факт, для выяснения которого экспертиза была назначена, установленным или опровергнутым.
Указанный вопрос разрешается судом в каждом конкретном случае в зависимости от того, какая сторона, по каким причинам не явилась на экспертизу или не представила эксперту (экспертам) необходимые предметы исследования, а также какое значение для нее имеет заключение эксперта (экспертов), исходя из имеющихся в деле доказательств в их совокупности. В этих целях суду, в частности, следует проверить, имелись ли обстоятельства, объективно препятствовавшие явке родителя с ребенком на экспертизу, разъяснялись ли данному лицу положения части 3 статьи 79 ГПК РФ, назначался ли новый срок для проведения экспертизы, какие иные доказательства представлены сторонами в суд в подтверждение (опровержение) заявленного требования.