Здравствуйте,
Добровольный отказ от отцовства не предусмотрен законом, т.к. он нарушает права ребенка. Обычно под отказом от ребенка понимается нотариальное согласие на усыновление или согласие с иском о лишении родительских прав. В обоих случаях обязанность по содержанию ребенка сохраняется. Вы можете взыскать алименты и далее получить согласие на усыновление или лишить отца родительских прав. Кроме алиментов можно взыскать дополнительные расходы (ст.86 СК РФ). Расходы на школу к таким не относятся, а вот расходы на лечение — вполне, если речь о каком-то дорогостоящем лечении, а не о повседневных, обычных заболеваниях типа ОРВИ.
С уважением, Андрей Козырев