Какие есть варианты решения этого вопроса?

Можете от своей доли им часть подарить. Собственника  доли никак не выселить. 

Ст 209 ГК.

Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, нещ противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом.

Родителя хотят для безопасности иметь какое-нибудь право на эту квартиру, чтобы их никто не мог оттуда выселить. Какие есть варианты решения этого вопроса?

 Добрый вечер!

 А супруга согласна выделить Вашим родителям долю в этой квартире?

 Если собственность совместная, то сначала надо её разделить либо брачным договором, либо соглашением о разделе общего имущества.

 Только после этого Вы часть своей доли можете подарить родителям.

 Сделка дарения доли в недвижимом имуществе требует обязательного нотариального удостоверения.

Так, согласно ст. 42 Федерального закона «О государственной регистрации недвижимости» от 13.07.2015 N 218-ФЗ

1.1. Сделки по отчуждению или договоры ипотеки долей в праве общей собственности на недвижимое имущество подлежат нотариальному удостоверению

 Дар от близкого родственника (сына) налогом не облагается.