Здравствуйте, есть квартира с двумя собственниками по 1/2, один собственник умирает и не имеет наследников, можно ли выкупить долю у государства оставшемуся собственнику?

Быстро это не получится сделать, Жилищные органы не сразу оформляют такие доли у нотариуса, 

А вот если будете жить и пользоваться этой долей более 18 лет (15 + 3) то сможете эту долю получить бесплатно через суд по праву приобретательной давности. Ст. 234 ГК РФ.