Можно ли оспорить оценку ущерба по ОСАГО, если потерпевший требует доплаты?

Возможно ли понуждать потерпевшего к оспариванию оценки для снижения величины выплат с виновника

 Нет, в силу принципа диспозитивности гражданского процесса, только он решает, спорить ли ему со страховой или нет.

В частности в силу ст. 4 ГПК РФ

 Суд возбуждает гражданское дело по заявлению лица, обратившегося за защитой своих прав, свобод и законных интересов.

Возможно ли понуждать потерпевшего к оспариванию оценки для снижения величины выплат с виновника (иначе получается, что потерпевший не хочет споров со страховой и хочет переложить все бремя на виновника)?

 Нет.

В данном случае у него есть право выбора при получении страховой выплаты — оспаривать полученную от страховой сумму или обратиться к виновнику.

На это обращено внимание в ст. 1072 ГК РФ 

Юридическое лицо или гражданин, застраховавшие свою ответственность в порядке добровольного или обязательного страхования в пользу потерпевшего (статья 931, пункт 1 статьи 935), в случае, когда страховое возмещение недостаточно для того, чтобы полностью возместить причиненный вред, возмещают разницу между страховым возмещением и фактическим размером ущерба.

Поэтому пострадавший может потребовать разницу между полученным страховым возмещением и фактически причиненным ему вредом. 

Однако, обращаясь к виновнику — он должен доказать фактически понесенные затраты на ремонт

Именно на потерпевшего возлагается бремя доказывания того, что полученная от страховой сумма ущерба ему недостаточна для восстановления его транспортного средства.

Так в Определение Судебной коллегии по гражданским делам Верховного Суда Российской Федерации от 21.01.2020 N 2-КГ19-10, 2-6410/2018 отмечено, что 

Из приведенных положений закона в их толковании Конституционным Судом Российской Федерации следует, что в случае выплаты страхового возмещения в денежной форме с учетом износа заменяемых деталей, узлов и агрегатов при предъявлении иска к причинителю вреда на потерпевшего возложена обязанность доказать, что действительный ущерб превышает сумму выплаченного в денежной форме страхового возмещения.

Он тут не ограничен в возможности такого доказывания для чего может быть использовано заключение проведенной им досудебной экспертизы, указывающей на разницу в ущербе или представлены документы, подтверждающие расходы на фактический ремонт. 

В качестве  доказательств вы можете приводить

— рецензию на его экспертизу и экспертизу страховой компании

— привлечь к участию в деле специалиста для расчёта стоимости ремонта 

— заявить ходатайство о проведении экспертизы. Но тут имейте ввиду,  что при удовлетворении судом его требований, на вас будут возложены расходы на проведение судебной экспертизы.