Можем ли мы попросить соседа убрать свою дверь с пути проникновения в нашу квартиру?

Тамбур очень маленький. Мы просили тумбу убрать- безрезультатно.

А у Вас в доме есть управляющая компания?

Если не хотите сами заниматься — то можете обратиться к ним, в письменном виде, и УК должна принять необходимые меры.

Это их обязанность, в том числе.

Также в случае проведение проверки со стороны МЧС, может быть вынесено предписание об устранении нарушения.

И Вы вправе подать жалобу.

Арендатору принципиально иметь тумбочку в тамбуре

Вопрос не в его желании, а в том, что такое захламление  нарушает Противопожарные правила.

Постановлении Правительства РФ от 16.09.2020 N 1479
«Об утверждении Правил противопожарного режима в Российской Федерации»

27. При эксплуатации эвакуационных путей, эвакуационных и аварийных выходовзапрещается:

б) размещать мебель (за исключением сидячих мест для ожидания) и предметы (за исключением технологического, выставочного и другого оборудования) на путях эвакуации, у дверей эвакуационных и аварийных выходов, в переходах между секциями, у выходов на крышу (покрытие),....

Поэтому здесь и в целях Вашей безопасности подать жалобу в УК, или сразу в МЧС

На счет именно тумбочки и норм противопожарных правил — это указано в Постановлении Правительства РФ от 16.09.2020 N 1479
«Об утверждении Правил противопожарного режима в Российской Федерации»

27. При эксплуатации эвакуационных путей, эвакуационных и аварийных выходовзапрещается:
б)размещать мебель (за исключением сидячих мест для ожидания) и предметы (за исключением технологического, выставочного и другого оборудования) на путях эвакуации, у дверей эвакуационных и аварийных выходов, в переходах между секциями, у выходов на крышу (покрытие), а также демонтировать лестницы, поэтажно соединяющие балконы и лоджии, лестницы в приямках, блокировать люки на балконах и лоджиях квартир;

То есть это прямо запрещено правилами.

Для начала можете обратиться в вашу ук, при необходимости — в мчс по региону (управление).

Обращение- письменная жалоба в свободной форме с требованием провести провести проверку. Главное изложить суть, вы даже не обязаны там на какие то нормы ссылаться.

Срок проведения проверки- 1 месяц.

Можем ли мы попросить соседа убрать свою дверь с пути проникновения в нашу квартиру? На какие законы ссылаться?

 Тут речь все о тех же противопожарных правилах.

Если дверь тамбура закрывает вашу дверь или как то мешает проходу- это нарушение норм и ее все равно будут демонтировать, даже не принципиально кто сейчас ее собственник.

Это тоже вопрос — сначала ук, а потом жил инспекции и мчс, мчс в 1 очередь.

Конечно, по-хорошему, Вы должны были предъявить иск в суд с требованием обязать соседа снести самовольно установленную дверь, которая создает препятствия в проходе к Вашей квартире.

 Если Вы снесли дверь самовольно, то можете ссылаться на ст. 14 Гражданского Кодекса РФ о самозащите:

Допускается самозащита гражданских прав. 
Способы самозащиты должны быть соразмерны нарушению и не выходить за пределы действий, необходимых для его пресечения.

 Если сосед предъявляет доказательства оплаты двери, то дверь ему отдайте, но предупредите, что если он её опять установит, то вы её снесёте вновь либо обратитесь в суд с иском об обязании её снести.

Арендатору принципиально иметь тумбочку в тамбуре, а нам из-за нее в квартиру не попасть, тк детская коляска не проходит. Он уже пытался на саморезы тумбу прикрутить, чтобы мы ее не сдвигали.

 Арендатору объясните, что общим имуществом, которым является тамбур, жильцы вправе пользоваться только с согласия друг друга, а если такое согласие не достигнуто, то он вправе обратиться в суд и определить порядок пользования тамбуром, получив решение суда на установку тумбочки. Но если тумбочка мешает проезду детской коляски в Вашу квартиру, то такого решения суда он явно не дождётся. Пока Вашего согласия на размещение тумбочки нет, и тумбочку он устанавливать не вправе. Вы также можете её передвигать и отодвигать, исходя из принципа защиты своих прав, а можете обратиться в суд с иском об обязании его убрать об общего тамбура эту тумбочку.