Между мной и знакомым был заключен договор по переписке, что он закажет для меня товар на официальном сайте

Подскажите какое правильное основание для подачи заявления в суд о возврате денежных средств? Вся переписка и чеки из банка есть

 Для того, чтобы определить, какие правоотношения возникли между Вами и Вашим знакомым, необходимо изучить переписку. Если это агентский договор, то ссылаться надо будет на положения статей 1005 Гражданского Кодекса РФ.

Также можно основывать свои требования на положениях статьи 405 Гражданского Кодекса РФ:

1. Должник, просрочивший исполнение, отвечает перед кредитором за убытки, причиненные просрочкой, и за последствия случайно наступившей во время просрочки невозможности исполнения.

 2. Если вследствие просрочки должника исполнение утратило интерес для кредитора, он может отказаться от принятия исполнения и требовать возмещения убытков.

Также свои исковые требования возможно основать на положениях статьи 309 Гражданского Кодекса РФ и ст. 15 Гражданского Кодекса РФ.

 Но повторюсь, начните с обращения в полицию. Это будет более эффективно, чем длительные судебные разбирательства.

Либо направьте ему сообщение о том, что в случае неполучения возврата денежных средств, к примеру, в течение 3-х дней, Вы обратитесь в полицию с заявлением о мошенничестве. Возможно, после такого сообщения он попытается урегулировать с Вами проблему.

то имеете право в судебном прядке взыскать с него неосновательное обогащение (ст. 1102 ГК РФ),

 Неосновательное обогащение может быть взыскано только при отсутствии договора. Здесь же, как указано в вопросе, договорные отношения.

1. Лицо, которое без установленных законом, иными правовыми актами или сделкой оснований приобрело или сберегло имущество (приобретатель) за счет другого лица (потерпевшего), обязано возвратить последнему неосновательно приобретенное или сбереженное имущество (неосновательное обогащение).

 Да и компенсацию морального вреда взыскать не получится. т.к. согласно ст. 1099 Гражданского Кодекса РФ:

2. Моральный вред, причиненный действиями (бездействием), нарушающими имущественные права гражданина, подлежит компенсации в случаях, предусмотренных законом.

 Здесь имущественный спор по сделке, и законом компенсация морального вреда не предусмотрена.

Неосновательное обогащение может быть взыскано только при отсутствии договора. Здесь же, как указано в вопросе, договорные отношения.

Клиент указал «договор по переписке», вероятно имеется в виду, что не было заключено письменного договора, а люди договорились в переписке о том, что один отправляет деньги, а другой заказывает товар, то есть между людьми произошел письменный диалог.

Как неосновательное обогащение, если заявите это основание, сторона может возражать, согласно ч. 1 ст. 1109 ГК РФ, обосновывая тем, что денежные средства были перечислены до наступления сроков обязательств по договору, то есть до той даты, когда необходимо было заказть по предоплате Ваш товар. 

Не подлежат возврату в качестве неосновательного обогащения:

1) имущество, переданное во исполнение обязательства до наступления срока исполнения, если обязательством не предусмотрено иное

Поэтому, если Вы уже направляли ему заявление об отказе от договора и требование вернуть денежные средства, можете обращаться в суд. Так, если признавать Вашу договоренность с лицом агентским договором, то с учетом того, что  Вы пишите, о том, что обязанность не была исполнена, и им не были предоставлены доказательства того, что заказ был оформлен, а агент согласно ст. 1008 ГК РФ должен отчитываться за действия  по мере исполнения им договора

не предоставил ни одного документа что товар был заказан, только слова.

Можете на основании этого просить вернуть денежные средства. Также можете просить взыскать с него проценты на сумму долга, согласно ч. 1  ст. 395 ГК РФ.

Можете подробнее ознакомиться по данный ссылке

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_5142/93383099dc4f06165d8d4aac4eeb159db4f6da3d/

Только для подачи иска нужны данные ответчика, согласно ч. 2 ст. 131 ГПК РФ, и если Вы их не знаете, адрес места жительства, например, то как Вам указали выше, имеет смысл обращение в полицию.

По поводу Вашей переписки, агенсткий договор может заключаться без указания срока его действия, это предусмотрено ч.3 ст. 1005 ГК РФ. 

Также, согласно ч.1 ст. 1105 ГК РФ 

По агентскому договору одна сторона (агент) обязуется за вознаграждение совершать по поручению другой стороны (принципала) юридические и иные действия от своего имени, но за счет принципала либо от имени и за счет принципала.

По сути в переписке есть указание, что лицо хочет от своего имени оформить заказ,  но за Ваш счет, также есть указание на конкретный заказ, также Вы как принципал оплатили заказ( перевели ему сумму). 

Но не указан размер агентского вознаграждения, но так как согласно ч. 2 ст. 1106 ГК РФ если размер не указан в договоре — вознаграждение подлежит уплате в размере, определяемом в соответствии с пунктом 3 статьи 424 настоящего Кодекса ( вознаграждение выплачивается в том размере, которое при сравнимых обстоятельствах обычно взимается за аналогичные товары, работы или услуги.)

То есть, если это не указано, то это также не свидетельствует о том, что агентский договор не заключен. 

Также ч. 3 ст. 1106 ГК РФ указано, что 

При отсутствии в договоре условий о порядке уплаты агентского вознаграждения принципал обязан уплачивать вознаграждениев  течение недели с момента представления ему агентом отчета за прошедший период, если из существа договора или обычаев делового оборота не вытекает иной порядок уплаты вознаграждения.

Но он ничего не исполнил, отчет об этом не предоставл,  и поэтому обязанность по выплате вознаграждения у Вас отсутствует.