Добрый день. Договор заключать прошлой датой нельзя, Ваш работодатель, скорее всего от этого откажется. Причин этому множество: во-первых, на следующий день после трудоустройства работодатель сдает отчет в СФ о том, что Вас взяли на работы (в противном случае — огромный штраф), во-вторых, каждый месяц работодатель отчитывается в налоговый орган о сотрудниках и начисленных зарплатах (с декабря сдано таких отчетов уже три); в-третьих, годовая отчетность по сотрудникам за 2023 год по срокам уже сдана; в-четвертых, за сотрудников каждый месяц оплачиваются налоги, в том числе и для оплаты больничных. При непредоставлении информации и неоплате налогов работодателю грозят большие штрафы. Удачи!