Здравствуйте, Дарья!
Да, у отца есть такое право (ст. 256 ТК РФ):
Право на получение пособия по обязательному социальному страхованию сохраняется в случае, если женщина или лица, указанные в части второй настоящей статьи, выходят на работу (в том числе на условиях неполного рабочего времени, работы на дому или дистанционной работы) из отпуска по уходу за ребенком до достижения им возраста полутора лет или в период указанного отпуска работают у другого работодателя.
То, что
Мать безработная.
значения не имеет.
Информацию о том, что матери не назначали пособие, СФР получает путем межведомственного электронного взаимодействия (п. п. 12, 37 Правил получения СФР сведений).
Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).