Если да, то какой процесс в этом случае?

В данном случае территориальный фонд обязательного медицинского страхования (ТФОМС) вправе предъявить к Вам требования в порядке регресса в связи оказанным лечением.

На основании ст. 31 ФЗ  «Об обязательном медицинском страховании в Российской Федерации»  установлено, что  расходы на оплату оказанной медицинской помощи застрахованному лицу вследствие причинения вреда его здоровью подлежат возмещению лицом, причинившим вред здоровью застрахованного лица.

Частью 3 названной статьи Закона размер расходов на оплату оказанной медицинской помощи застрахованному лицу вследствие причинения вреда его здоровью определяется страховой медицинской организацией на основании реестров счетов и счетов медицинской организации.

Таким образом, с подруги в силу ст. 1081 ГК РФ могут взыскать сумму затрат на лечение в порядке регресса.

На этот случай сложилась соответствующая судебная практика.

Например, Определение Пятого кассационного суда общей юрисдикции от 07.05.2020 по делу N 88-3736/2020

Отказывая в удовлетворении требований ТФОМС КБР, мировой судья судебного участка N 3 Терского судебного района Кабардино-Балкарской Республики исходил из отсутствия результатов проведения экспертизы качества медицинской помощи, оформленных соответствующим актом.
Отменяя решение мирового судьи судебного участка N 3 Терского судебного района КБР, районный суд правильно руководствовался нормами статьи 1064, 1081 Гражданского кодекса Российской Федерации, регулирующими основания для ответственности за причиненный вред, положениями Федерального закона Российской Федерации от 29 ноября 2010 года N 326-ФЗ «Об обязательном медицинском страховании в Российской Федерации» и исходил из того, что в ходе судебного разбирательства подтвержден факт получения потерпевшей в дорожно-транспортном происшествии, произошедшим по вине ответчика, лечения за счет средств Территориального фонда обязательного медицинского страхования Кабардино-Балкарской Республики и установлен размер затраченной Территориальным фондом обязательного медицинского страхования Кабардино-Балкарской Республики суммы на оплату такого лечения, в связи с чем пришел к выводу о наличии правовых оснований для удовлетворения иска и взыскал с Х. в пользу Территориального фонда обязательного медицинского страхования Кабардино-Балкарской Республики денежные средства в размере 11365 рублей, затраченные на лечение П.
Доводы кассационной жалобы Х. о том, что страховые случаи при дорожно-транспортном происшествии не относятся к социальным, а в соответствии с главой 48 Гражданского кодекса Российской Федерации и статьей 9 Федерального закона «О страховом деле в Российской Федерации» являются страховыми случаями в рамках Федерального закона «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств» основаны на субъективном толковании норм материального права.

Соответственно взысканию подлежат все затраты на лечение, которое находится в причинно-следственной связи с ДТП.