Могут ли обвинить в краже котёнка после обмена без договора и спора о родословной?

Вам надо понимать, чтобы обвинить вас в хищении котенка, надо возбудить уголовное дело по заявлению потерпевшей. В ходе расследования уголовного дела по ст.159 УК РФ следователю надо доказать, что вы безвозмездно похитили путем обмана котенка у заявителя.

А перед возбуждением уголовного дела следователь будет проводить доследственную проверку в порядке ст.144 УПК РФ. 
Если следователь докажет, что произошел обмен котятами, которые по цене соответствуют друг другу и вы обговаривали обмен, допустим, через мессенджеры или иными способами, то не усмотрит состава преступления. И вынесет отказ в возбуждении уголовного дела, согласно ст.145 УПК РФ.

Потому как в этом случае усмотрят гражданско-правовые отношения.

Вам сейчас следует сохранить переписку о том, что вам высылали договор и ваши возражения на него.

Желательно заверить ее у нотариуса(довольно дорого) или у эксперта.

Тогда у вас будут доказательства того, что вы вели переговоры в рамках гражданского законодательства.

Если перепиской будет подтверждено, что обмен котят произошел без иных взаимных обязательств, обязать заключить иные договоры по прошествии времени будет также проблематично, поскольку, фактически, конклюдентными действиями (ст. 158 ГК РФ) Ваши правоотношения состоялись, окончены, обязательства — прекращены. (ст. 425 ГК РФ)

Если же отношения носят длящийся характер, можно говорить о ст. 421 ГК РФ — свобода договора с запретом на понуждение заключения договора/его изменение (ст. 450, 451 ГК РФ).

В августе прошлого года был произведен обмен породистыми котятами от разных кошек в рамках питомника по взаимному согласию и без подписания каких-либо соглашений и договоров

 Плохо, что ничего не подписано.

А переписка хотя бы есть?

В ноябре, мной была запрошена родословная на котенка. На что со второй стороны пришло требование подписание договора о купли-продажи с кабальными условиями.

Договор конечно может быть подписан позднее и распространится на правоотношения, возникшие до егь подписания, но принудить вас подписать его не могут.

Договоры подписываются добровольно.

Она требование кастрировать животное, либо доплатить ей 100000, либо она подаёт в суд за его кражу. Мотивация, что все котята рождённые в рамках ее питомника принадлежат ей. Мать кошка котенка, которым с моей стороны был произведен обмен, по родословной принадлежит мне.

Спорное утверждение.  

Однако у вас нет никаких документов.

Как вами достигалась договоренность во время обмена?