И может ли исполняющий обязанности главного врача подписать это заявление без него?

С учётом моего ответа выше далее:

Общие положения закрепляет Федеральный закон от 21.11.2011 N 323-ФЗ  «Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации»  Статья 73. Обязанности медицинских работников и фармацевтических работников, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_121895/a7b7106bd7e8a56e008dde0eb4ea933be31371f4/

Из статьи следует:

2. Медицинские работники обязаны:

 1) оказывать медицинскую помощь в соответствии со своей квалификацией, должностными инструкциями, служебными и должностными обязанностями;

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учётом моих ответов выше далее:

Выполнение другой работы может быть оформлено по закону на условиях совмещения или внутреннего совместительства, и только с согласия самого работника.

Совмещение:

Совмещение это  выполнение работы по другой должности наряду с основной работой, т.е. одновременно и во время которое предусмотрено для основной работы, при этом обязательно в штатном расписании должна быть та должность, которую работник будет совмещать, не существующей у работодателя должности совмещать нельзя.

Может быть заключено отдельное дополнительное соглашение к трудовому договору, порядок предусмотрен статьями:

ТК РФ Статья 60.2. Совмещение профессий (должностей). Расширение зон обслуживания, увеличение объема работы. Исполнение обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором — www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/b295f8b33f12effd67f0d33a5d81060ca0671882/

Из статьи следует:

С письменного согласия работника ему может быть поручено выполнение в течение установленной продолжительности рабочего дня (смены) наряду с работой, определенной трудовым договором, дополнительной работы по другой или такой же профессии (должности) за дополнительную оплату (статья 151 настоящего Кодекса).

ТК РФ Статья 72. Изменение определенных сторонами условий трудового договора —www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/ba946b43f391a20a54c6384e40026291c4a349ed/

Далее выносится приказ с которым работника знакомят под роспись в силу положений статьи ТК РФ Статья 22. Основные права и обязанности работодателя:

Работодатель обязан:
знакомить работников под роспись с принимаемыми локальными нормативными актами, непосредственно связанными с их трудовой деятельностью;-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/98b31fb9ec68d01fefb5bb66cad3bfa2c9705789/

Дополнительные разъяснения также можете посмотреть по официальной ссылке Роструда:

Совмещение профессий (должностей)

Памятка для работника-https://онлайнинспекция.рф/reminder/44

Что касается дополнительной оплаты за совмещение, она может быть любой по — соглашению сторон, т.е. здесь стороны свободны сами определить размер дополнительной оплаты, такое право предоставлено статьей ТК РФ Статья 151. Оплата труда при совмещении профессий (должностей), расширении зон обслуживания, увеличении объема работы или исполнении обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором.

Согласно которой следует, что:

Размер доплаты устанавливается по соглашению сторон трудового договора с учетом содержания и (или) объема дополнительной работы (статья 60.2 настоящего Кодекса).-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/2776d76376c800a4693157045be7f028798f5046/

Совместительство:

В соответствии с положениями статьи ТК РФ Статья 60.1. Работа по совместительству.

Из которой  следует, что:

Работник имеет право заключать трудовые договоры о выполнении в свободное от основной работы время другой регулярной оплачиваемой работы у того же работодателя (внутреннее совместительство)  и (или) у другого работодателя (внешнее совместительство).-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/bac9b021a8ebb30fb12f7cd16b5c98cd528ff24a/

По совместительству оформляется  отдельный трудовой договор — совместительства, документы подавать как при приеме на работу по основному месту не нужно, так как это работа у того же работодателя и ему они были поданы при приеме на основное место работы.

ТК РФ Статья 282. Общие положения о работе по совместительству

Совместительство — выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/ba2f47a33497c69efe56d2fe80e9823446bcfc2b/

Совместительство  оформляется  приказом локальным актом работодателя о приеме на работу по совместительству, заключается   трудовой договор совместительства, оплата труда выплачивается согласно окладу и всем надбавкам и доплатам установленной для  этой должности штатным расписанием.

Но при этом в отличии от совмещения, работать  по совместительству в разрешается по закону, только в свободное от основной работы время.

В отношении педагогических работников, положения определены  положениями указанными в  Постановлении Минтруда РФ от 30.06.2003 N 41 «Об особенностях работы по совместительству педагогических, медицинских, фармацевтических работников и работников культуры».

Из Постановления в частности следует, что:

б) продолжительность работы по совместительству указанных категорий работников в течение месяца устанавливается по соглашению между работником и работодателем, и по каждому трудовому договору она не может превышать:

 для медицинских… работников — половины месячной нормы рабочего времени, исчисленной из установленной продолжительности рабочей недели;-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_43729/

Все основные условия работы закрепляются также трудовым договором совместительства, в порядке предусмотренном статьей ТК РФ Статья 57. Содержание трудового договора --http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/2debf15d9e8f632d1a9626d60877f94e84c1cb7c/

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.