Если правильно понимаю, то такого сотрудника нельзя уволить по инициативе работодателя до достижения ребенка возрастом трех лет?

Нужен в целом комментарий, какие рычаги есть у работодателя в таком случае, если сотрудник выполняет свои обязанности прописанные в договоре, не нарушает дисциплину и тд.

Работодатель вообще не имеет право принуждать работника уволиться по собственному желанию. Согласно ст. 80 Трудового кодекса Российской Федерации это может сделать только сам работник по своей инициативе. 

Принуждением к увольнению по собственному желанию может быть, в частности, привлечение к необоснованному дисциплинарному взысканию, насмешки, оскорбления со стороны начальства и коллег, аннулирование пропуска, уменьшение выплат, невыплата или уменьшение премий под надуманным предлогом.

Вот это надо фиксировать при возможности. В том числе посредством аудиозаписи. 

Форм защиты в данном случае
крайне мало.

1. Все предложения об
увольнении по собственному желанию, придирки, необоснованные замечания
фиксировать, записывать. И если все же придется уволиться — восстановиться в
судебном порядке, исходя из  того что увольнение было не добровольным. И
еще, если все же придется писать заявление — в самом тексте заявления не писать
с какой даты уволить. В такой ситуации работодатель иногда ошибается с датой
увольнения, и в последующем на этом основании возможно восстановление на
работе через суд.

2. Можно предложить
работодателю увольнение по соглашению сторон, с любой даты, с выплатой Вам
выходного пособия (размер определяется по соглашением сторон).  

Работник выполняет трудовую функцию как на рабочем месте в офисе работодателя, так и вне места расположения работодателя (дистанционно), при условии использования для выполнения данной трудовой функции и для осуществления взаимодействия между Работодателем и Работником информационно телекоммуникационных сетей общего пользования, в том числе сети Интернет. Рабочее место Работник определяет самостоятельно" Может ли работодатель в этом случае заставить сотрудника принудительно ходить в офис и в случае отказа интерпретировать это как прогул?

 При правильно составлении договора должно было в самом тексте договора должно было указано какие дни и часы работник работает дистанционно, а какие дни недели и часы в офисе. Сейчас для реализации данного соглашения нужно составить дополнительное соглашение, в котором определить точный график. И после такого соглашения работодатель сможет требовать его исполнения. И в случае его нарушения применять меры дисциплинарного взыскания. в том числе за прогул.

При этом Вы должны понимать, что можете вообще не подписывать дополнительное соглашение. Так как договор это соглашение двух равноправных сторон. И работодатель не может Вас заставить. Вы можете не подписывать и все. И ничего не объяснять. 

С учётом моего ответа выше далее:

Условно, если ребенку сотрудника сейчас 2 года и работодатель хочет уволить сотрудника сейчас, то будет обязан выплатить всю зарплату до достижения этим ребенком трех лет, заключив соглашение сторон?

Нет. таких именно обязательных положений трудовое законодательство РФ не содержит.

В случае прекращения трудовых отношений по соглашению сторон. стороны достигают между собой договоренность о дополнительных условиях, в том числе возможной дополнительной выплаты работнику помимо окончательного обязательного расчета в случае увольнения по заработной плате.

Соответственно только в случае согласия, может быть определен и установлен соответствующий размер такой дополнительной выплаты, работодатель не обязан соглашаться на условия предлагаемые работником, можете предложить ему и свои условия, которые также могут его устроить.

Порядок регулируется статьей ТК РФ Статья 78. Расторжение трудового договора по соглашению сторон -http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/845c1cb66c6b855ac0278e56b60c1fb171679642/

Из статьи следует:

Трудовой договор может быть в любое время расторгнут по соглашению сторон трудового договора.

Дополнительные разъяснения  Роструда можете посмотреть по следующей официальной ссылке:

Действия работодателя при расторжении трудового договора по соглашению сторон -https://онлайнинспекция.рф/instruction/271

При таком основании и порядка прекращения трудовых правоотношений, помимо обязательного окончательного расчета:

ТК РФ Статья 84.1. Общий порядок оформления прекращения трудового договора -https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/cc8071b6b37792778d4ce9fba7e76c373edc0618/

ТК РФ Статья 140. Сроки расчета при увольнении — www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/274f022222909efcef192f7615b143e34309164f/#dst100956

Стороны вправе предлагать дополнительные условия, т.е. работник вправе предложить такое условие как выплата ему дополнительной компенсации  в сумме равной количеству нескольких его окладов, т.е. отменить таким Соглашением обязательные требования Трудового кодекса РФ в любом случае нельзя, а вот дополнительные условия не ухудшающие, а устраивающие стороны предлагать можно, потому это и называется увольнением по — Соглашению сторон.

Во вложении к ответу типовая форма такого соглашения рекомендованная Рострудом РФ.

Далее я продолжу  в следующем ответе ниже.

С учётом моих ответов выше далее:

Нужен в целом комментарий, какие рычаги есть у работодателя в таком случае, если сотрудник выполняет свои обязанности прописанные в договоре, не нарушает дисциплину и тд.

Основания для увольнения по инициативе работодателя, закреплены в статье ТК РФ Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя, можете ознакомиться с ними по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/6a7ba42d8fda3a1ba186a9eb5c806921998ae7d1/

И либо эти основания имеются у работодателя, и он может их применить в отношении работника, либо у него их  нет, вот и все рычаги в рамках трудового законодательства которые им предусмотрены, если вести речь о законных основаниях.

Либо следует иметь иное основание для прекращения трудовых отношений с работником, такое как соглашение сторон, увольнение работника по его собственной инициативе и т.д.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.