Школа танцев оформлена как ИП, оплату за тренировки переводила на карту

Здравствуйте, Светлана!
Несмотря на то, что в письменном виде договор не был заключен, услуги вам все же оказывались со стороны ИП. 

Договор считается заключенным, если между его сторонами достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора (в силу п.3 ст.432 ГК РФ, п.1 Постановления Пленума ВС РФ от 25.12.2018 г. № 49).

Вам надо сохранить документы, подтверждающие получение вами травмы и пройденного лечения.
Вы можете обратиться с претензией к данному ИП, требуя компенсировать стоимость лечения  и моральный ущерб либо сразу обратиться  с исковым заявлением в суд.   

П. 32 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 26.01.2010 N 1 «О применении судами гражданского законодательства, регулирующего отношения по обязательствам вследствие причинения вреда жизни или здоровью гражданина»: 

 Учитывая, что причинение вреда жизни или здоровью гражданина умаляет его личные нематериальные блага, влечет физические или нравственные страдания, потерпевший, наряду с возмещением причиненного ему имущественного вреда, имеет право на компенсацию морального вреда при условии наличия вины причинителя вреда.

Согласно  п. 2 ст. 17 Закона РФ от 07.02.1992 N 2300-1 «О защите прав потребителей»:

2. Иски о защите прав потребителей могут быть предъявлены по выбору истца в суд по месту:

 
нахождения организации, а если ответчиком является индивидуальный предприниматель, — его жительства;

 
жительства или пребывания истца;

 
заключения или исполнения договора.

 
Если иск к организации вытекает из деятельности ее филиала или представительства, он может быть предъявлен в суд по месту нахождения ее филиала или представительства.