Плюс идут какие-то проверки, типа мама занимается фиктивной регистрацией

По закону дети прописываются к родителям без чьего либо согласия. Просите письменный отказ, если он не соответствует закону, нормам ЖК РФ,  его можно обжаловать. 

Ст. 70 ЖК РФ. 

На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.

Милена, добрый вечер.

Проблема, вероятно, связана с тем, что органы проверяют факт регистрации для исключения нарушений, касающихся фиктивной прописки. 

Согласно статье 20 Гражданского кодекса РФ, несовершеннолетние дети могут быть зарегистрированы по месту жительства одного из родителей или опекуна, что подтверждает право вашего мужа на регистрацию детей в помещении, где он прописан. 

2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Отказ в регистрации может быть обусловлен подозрением в фиктивной регистрации, которая определяется как прописка без намерения фактического проживания в указанном месте (статья 322.2 УК РФ). Фиктивная регистрация может влечь административные и уголовные последствия, если будет установлено, что предоставленные документы или данные были заведомо ложными или что отсутствует намерение проживания (Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 9 июля 2020 г. № 18).