Здравствуйте.
1. Формально Вы безусловно вправе требовать возмещения ущерба, поскольку законодательство исходит из необходимости такого возмещения.
Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.
Статья 1064 ГК РФ.
2. Далее, договор между Вами есть, хоть и не в письменном виде. Законодательство подразумевает, что любое соглашение об определенных правах и обязанностях является договором, а риски последствий незаключения классического письменного договора Вы несете сами. Например, одно из таких последствий — невозможность ссылаться на свидетельские показания.
Несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.
Статья 162 ГК РФ.
Другие последствия, как правило, также заключатся в том, что Вы серьезно затрудняете себе возможность доказывания. Например, того, в какой именно момент был заключен договор, не было ли разрешено находиться там посторонним людям (которые тоже могли причинить вред, и которые могли быть не связаны с нанимателем) и пр.
Если дело дойдет до суда, все это будет иметь значение.
Каждая сторона должна доказать те обстоятельства, на которые она ссылается как на основания своих требований и возражений, если иное не предусмотрено федеральным законом.
Суд определяет, какие обстоятельства имеют значение для дела, какой стороне надлежит их доказывать, выносит обстоятельства на обсуждение, даже если стороны на какие-либо из них не ссылались.
Статья 56 ГПК РФ.
3. Поэтому сказать о какой-то единой и правильной последовательности действий невозможно. Но для начала стоит связаться с нанимателем и поставить вопрос о компенсации.
Если он откажется, придется обращаться в суд.
При обращении в суд Вам необходимо будет доказать, в каком состоянии Вы передали квартиру нанимателю, и в каком состоянии наниматель вернул её Вам. В качестве доказательств заключения договора найма жилого помещения представляйте документы об оплате, которые у Вас имеются, и фотографии в подтверждение состояния имущества при сдаче квартиры нанимателю и после выезда нанимателя, проводите оценку размере причиненного вреда.