Если бабушка подпишет мне-внуку дарственную на квартиру, при наличии её сына (моего отца)

Здравствуйте! Нет, если не будет никаких признаков оспоримости сделки. Дарственная на квартиру, если она составлена в соответствии с законом, является безвозмездной сделкой, и после её регистрации в Росреестре квартира становится вашей собственностью. Ваш отец, как сын вашей бабушки, в общем случае не сможет отсудить её, поскольку она передаётся вам по воле дарителя.

Отец может попытаться оспорить дарственную в суде, но для этого должны быть веские основания, такие как:

— Бабушка находилась в состоянии, когда не могла понимать значение своих действий (например, из-за заболевания, старческого слабоумия, воздействия алкоголя или лекарств).
— На бабушку оказывалось давление или угроза.
— Документ оформлен с нарушением закона (например, дарственная подделана).

ГК РФ Статья 166. Оспоримые и ничтожные сделки

1. Сделка недействительна по основаниям, установленным законом, в силу признания ее таковой судом (оспоримая сделка) либо независимо от такого признания (ничтожная сделка).

ГК РФ Статья 177. Недействительность сделки, совершенной гражданином, не способным понимать значение своих действий или руководить ими

Кристина, добрый день.

Если бабушка подпишет мне-внуку дарственную на квартиру, при наличии её сына (моего отца).

 Сам по себе факт наличие живого сына, никак не умаляет право бабушки, как собственницы квартиры, распорядится ей по своему усмотрению.

ПО смыслу ст 209 ГК РФ 

2. Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом.

Соответственно с этим права Вашего отца при дарении квартиры никак не нарушаются, а следовательно, у него нет оснований для оспаривания указанной сделки.

Право оспорить договор дарения он может с учетом ст. 166 ГК РФ

Оспоримая сделка может быть признана недействительной, если она нарушает права или охраняемые законом интересы лица, оспаривающего сделку, в том числе повлекла неблагоприятные для него последствия.

Но требование о признании ее недействительной он может заявить в суд, в случаях прямо указанных в законе.

Сам по себе факт нахождения Вас в родственных отношениях, не дает ему таких прав.
С учетом сказанных вероятность оспаривания им договора дарения с учетом представленной Вами информации сводится к нулю.

Здравствуйте, Кристина!

Право на обязательную долю имеют  нетрудоспособные дети умершего гражданина.

Это право имеют не только родные, но и усыновленные  нетрудоспособные дети. (п. 1 ст. 1147, п. 1 ст. 1149 ГК РФ).

Кроме того, это право есть у нетрудоспособных граждан, которые находились на иждивении умершего.

Правила о наследовании нетрудоспособными лицами, в частности их право на обязательную долю в наследстве, применяются также к женщинам, достигшим возраста 55 лет, и мужчинам, достигшим возраста 60 лет (п. 1 ст. 1149 ГК РФ, ст. 8.2 Закона N 147-ФЗ).

Сколько лет вашему отцу и является ли он нетрудоспособным?