Здравствуйте!
Согласно описанию квартира принадлежала матери отца, после ее смерти квартира была унаследована отцом.
Все законно. Регистрация по месту жительства (прописка) не влияет на право собственности.
Наследуемое имущество не является совместно нажитым, соответственно жена наследника не имеет никакого отношения к указанному объекту недвижимости.
Ребенок может быть прописан в любом месте по месту регистрации одного из родителей. При этом, если квартира была продана, новые собственники вправе через суд выписать зарегистрированного ребёнка (если это не сделали родители),
при купле-продаже квартиры предыдущие жильцы теряют право пользования на основании п. 2 ст. 292 ГК РФ.