Хотела уточнить, какие документы необходимы для вступления в права наследования кооперативной квартирой моего отца?

ещё нет, только открыла наследственное дело в сентябре.

Самое главное, что срок вступления в наследство не пропустили.

По поводу кооперативной квартиры.

Она входит в наследство независимо от государственной регистрации:

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 29.05.2012 N 9
«О судебной практике по делам о наследовании»

67. В состав наследства члена жилищного, жилищно-строительного, дачного, гаражного или иного потребительского кооператива, полностью внесшего свой паевой взнос за квартиру, дачу, гараж, иное помещение, предоставленное ему кооперативом, указанное имущество включается на общих основаниях независимо от государственной регистрации права наследодателя.

Поэтому желательно иметь подтверждение оплаты пая полное.

Если же пай полностью не был оплачен, то переходит сам пай в сумме, выплаченной к моменту открытия наследства.

К наследникам члена жилищного, дачного или иного потребительского кооператива, не внесшего полностью паевой взнос за квартиру, дачу, гараж и иное имущество, переданное ему кооперативом в пользование, переходит пай в сумме, выплаченной к моменту открытия наследства.

Пусть нотариус сделает запрос в ЕГРН — и узнает, зарегистрировано ли право собственности.

как это узнать? я не знаю

Вы можете спросить у нотариуса.

Если право собственности не было зарегистрировано в ЕГРН, то нотариус обосновано требует с Вас справку о выплате пая, так как кроме этой справки нет достоверных доказательств о том, что наследодатель вообще владел этой квартирой на праве собственности.

При отсутствии таких доказательств нотариус не может выдать Вам свидетельство о праве  на наследство в отношении этой квартиры (ст. 72 Основ законодательства о нотариате)

Нотариус при выдаче свидетельства о праве на наследство по закону путем истребования соответствующих доказательств проверяет факт смерти наследодателя, время и место открытия наследства, наличие отношений, являющихся основанием для призвания к наследованию по закону лиц, подавших заявление о выдаче свидетельства о праве на наследство, состав и место нахождения наследственного имущества.

Если же право собственности зарегистрировано в ЕГРН на наследодателе, то нотариус не имеет права требовать с Вас больше никаких документальных подтверждений наличия права собственности на это имущество у наследодателя.