Как проходит развод и раздел имущества в разных странах, и с кем останется ребёнок?

В праве ли муж до суда требовать с меня подписанную бумагу о том, что ребенок останется с ним и что дочь будет прописана у него в квартире?

 Требовать отец ребенка не вправе, но предложить Вам заключить соглашение о месте жительства ребенка после расторжения брака он может.

 Так, согласно статье 65 Семейного Кодекса РФ:

3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей. 
При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей.

Но уточните, Вы согласны с тем, чтобы ребенок после расторжения брака остался проживать с отцом? Не зарегистрирован в его помещении остался бы, а именно остался бы проживать?

Что это ему даст?

 При наличии такого соглашения отец  сможет взыскать с Вас алименты на содержание ребенка на основании ст.ст. 80, 81 Семейного Кодекса РФ.

 Так, с положениями статьи 80 СК РФ Вы можете ознакомиться по ссылке:

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/939297ca809b2aa9866a81dbe3759fe66c596075/

По общему правилу, если имущество приобретено в браке, то это совместно нажитое имущество (ст 34 СК РФ)и в случае деления его через суд, суд делит пополам. Но Вы также можете с супругом договорится о разделе имущества и обратится к натариусу для заключения брачного договора ( ст 40 СК РФ) или соглашения о разделе имущества ( ст 38 СК РФ) и прописать что кому остаётся. 

В праве ли муж до суда требовать с меня подписанную бумагу о том, что ребенок останется с ним и что дочь будет прописана у него в квартире?

Конечно, если Вы не согласны, чтобы дочь проживала с отцом, а все осталось как есть- с Вами, то никаких бумаг подписывать не следует. В таком случае, если к соглашению по этому вопросу не придёте, будете решать его в судебном порядке. Но, даже если суд, вдруг, определит место жительства дочери с отцом, это не является основанием лишён Вас родительских прав. Основания для лишения указала выше. Это должны быть прям веские основния

Как будет происходить бракоразводный процесс и деление имущества?

В зависимости от того, какие именно требования будут заявлены, если будет заявлено только требование о расторжении брака, то нужно обращаться к мировому судье, согласно ст. 23 ГПК  РФ. 

Если же будет заявлен спор о ребенке, о его месте жительства, и о порядке общения с ним родителя, который отдельно от него проживает, то необходимо обращаться в районный суд. 

Что касается требования о разделе совместно нажитого имущества, которое приобретено на территории иностранного государства, то в определенных случаях спор может быть рассмотрен в суде РФ. 

Так, если постоянное место жительства супругов на территории РФ, то согласно ст. 161 СК РФ

Личные неимущественные и имущественные права и обязанности супругов определяются законодательством государства, на территории которого они имеют совместное место жительства, а при отсутствии совместного места жительства законодательством государства, на территории которого они имели последнее совместное место жительства.

Также можно учитывать позицию, указанную в Определении Судебной коллегии по гражданским делам от 4 декабря № 78-КГ18-67 согласно которой

Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации не относит требование о разделе совместно нажитого имущества супругов (граждан Российской Федерации), находящегося на территории иностранных государств, к исключительной компетенции иностранных судов, в связи с чем на данные требования распространяются общие правила подсудности, установленные главой 3 Гражданского процессуального кодекса Российской Федерации. Такого рода иски подлежат рассмотрению судами общей юрисдикции Российской Федерации, если иное не предусмотрено международным договором.