Здравствуйте, подскажите, отец ребёнка и сам ребенок(его сын) несовершеннолетний, прописаны у мамы, это мама

Здравствуйте.
Нет, бабушка (собственница квартиры) не может выписать несовершеннолетнего внука без согласия его законных представителей и без разрешения органа опеки и попечительства, даже несмотря на то, что она изначально его прописала.

Вот основные причины:

Защита прав несовершеннолетних: Закон строго охраняет жилищные права детей. Выписка несовершеннолетнего из жилого помещения, особенно если он там зарегистрирован постоянно, всегда требует согласования с органами опеки и попечительства.
Обязательное участие опеки: Органы опеки должны убедиться, что выписка ребенка не нарушает его права и интересы, и что ему будет предоставлено равноценное жилое помещение (по площади, условиям, благоустроенности) по новому месту жительства до или одновременно с выпиской из старого.
Необходимость согласия законных представителей: Согласие на выписку ребенка должны дать его законные представители. Поскольку отец ребенка сам несовершеннолетний, он не является его полноценным законным представителем в таких вопросах. Основными законными представителями ребенка являются его мать и, возможно, его опекун (если он назначен). Бабушка не является законным представителем внука только на основании собственности или регистрации.
Процедура выписки: Для выписки несовершеннолетнего бабушке необходимо:

Получить согласие матери ребенка(или иного законного представителя, например, опекуна).
Представить в орган опеки документы, подтверждающие, что ребенку будет предоставлена регистрация и проживание в равноценном жилье после продажи (например, договор купли-продажи новой квартиры, где внук будет зарегистрирован).
Получить разрешение органа опеки и попечительства на выписку ребенка.
Только с этим разрешением можно обращаться в паспортный стол или МФЦ для снятия ребенка с регистрационного учета.
Итог: Продать квартиру бабушка может, но для выписки внука ей обязательно потребуется согласие его матери (или опекуна) и официальное разрешение органов опеки и попечительства. Без этого выписать несовершеннолетнего ребенка незаконно. Рекомендую ей обратиться в местный орган опеки для подробной консультации о необходимых документах и процедуре.